ライプニッツの公式を用いて、以下の関数のn階導関数を求める問題です。 (1) $f(x) = (2x+3)^2 \log|3x-1|$ (2) $f(x) = x^3 \cos(2x-1)$

1. 問題の内容

ライプニッツの公式を用いて、以下の関数のn階導関数を求める問題です。

(1) $f(x) = (2x+3)^2 \log|3x-1|$

(2) $f(x) = x^3 \cos(2x-1)$

2. 解き方の手順

ライプニッツの公式は以下のように表されます。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)}v^{(k)}$

ここで$u^{(k)}$は$u$の$k$階導関数を表します。

(1) $f(x) = (2x+3)^2 \log|3x-1|$の場合

$u = (2x+3)^2$, $v = \log|3x-1|$ とおきます。

$u' = 2(2x+3)(2) = 4(2x+3)$, $u'' = 8$, $u^{(k)} = 0$ for $k \ge 3$

$v' = \frac{3}{3x-1}$, $v'' = \frac{-9}{(3x-1)^2}$, $v''' = \frac{54}{(3x-1)^3}$

$v^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac{3^n (n-1)!}{(3x-1)^n}$

したがって、

$f^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)}v^{(k)} = \binom{n}{0}u^{(n)}v + \binom{n}{1}u^{(n-1)}v' + \binom{n}{2}u^{(n-2)}v''+\sum_{k=3}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)}v^{(k)}$

$n=1$: $f' = u'v + uv' = 4(2x+3) \log|3x-1| + (2x+3)^2\frac{3}{3x-1}$

$n=2$: $f'' = u''v + 2u'v' + uv'' = 8\log|3x-1| + 2(4(2x+3))\frac{3}{3x-1} + (2x+3)^2 \frac{-9}{(3x-1)^2}$

$n \ge 3$:

$f^{(n)} = \binom{n}{n-2}u''v^{(n-2)}+\binom{n}{n-1}u'v^{(n-1)}+\binom{n}{n}uv^{(n)}$

$f^{(n)}(x) = \binom{n}{2} 8 (-1)^{n-3} \frac{3^{n-2} (n-3)!}{(3x-1)^{n-2}} + \binom{n}{1} 4(2x+3) (-1)^{n-2} \frac{3^{n-1} (n-2)!}{(3x-1)^{n-1}} + \binom{n}{0}(2x+3)^2 (-1)^{n-1} \frac{3^{n} (n-1)!}{(3x-1)^{n}}$

$f^{(n)}(x) = \frac{n(n-1)}{2} 8 (-1)^{n-3} \frac{3^{n-2} (n-3)!}{(3x-1)^{n-2}} + n 4(2x+3) (-1)^{n-2} \frac{3^{n-1} (n-2)!}{(3x-1)^{n-1}} + (2x+3)^2 (-1)^{n-1} \frac{3^{n} (n-1)!}{(3x-1)^{n}}$

(2) $f(x) = x^3 \cos(2x-1)$の場合

$u = x^3$, $v = \cos(2x-1)$ とおきます。

$u' = 3x^2$, $u'' = 6x$, $u''' = 6$, $u^{(k)} = 0$ for $k \ge 4$

$v' = -2\sin(2x-1)$, $v'' = -4\cos(2x-1)$, $v''' = 8\sin(2x-1)$, $v^{(4)} = 16\cos(2x-1)$

$v^{(n)} = 2^n \cos(2x-1 + \frac{n\pi}{2})$

したがって、$n \ge 4$:

$f^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)}v^{(k)} = \binom{n}{n-3}u'''v^{(n-3)} + \binom{n}{n-2}u''v^{(n-2)} + \binom{n}{n-1}u'v^{(n-1)} + \binom{n}{n}uv^{(n)}$

$f^{(n)}(x) = \binom{n}{3} 6 \cdot 2^{n-3} \cos(2x-1 + \frac{(n-3)\pi}{2}) + \binom{n}{2} 6x \cdot 2^{n-2} \cos(2x-1 + \frac{(n-2)\pi}{2}) + \binom{n}{1} 3x^2 \cdot 2^{n-1} \cos(2x-1 + \frac{(n-1)\pi}{2}) + \binom{n}{0} x^3 \cdot 2^{n} \cos(2x-1 + \frac{n\pi}{2})$

$f^{(n)}(x) = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} 6 \cdot 2^{n-3} \cos(2x-1 + \frac{(n-3)\pi}{2}) + \frac{n(n-1)}{2} 6x \cdot 2^{n-2} \cos(2x-1 + \frac{(n-2)\pi}{2}) + n 3x^2 \cdot 2^{n-1} \cos(2x-1 + \frac{(n-1)\pi}{2}) + x^3 \cdot 2^{n} \cos(2x-1 + \frac{n\pi}{2})$

$f^{(n)}(x) = n(n-1)(n-2) 2^{n-3} \cos(2x-1 + \frac{(n-3)\pi}{2}) + 3n(n-1)x 2^{n-2} \cos(2x-1 + \frac{(n-2)\pi}{2}) + 3nx^2 2^{n-1} \cos(2x-1 + \frac{(n-1)\pi}{2}) + x^3 2^{n} \cos(2x-1 + \frac{n\pi}{2})$

3. 最終的な答え

(1) $f^{(n)}(x) = \frac{n(n-1)}{2} 8 (-1)^{n-3} \frac{3^{n-2} (n-3)!}{(3x-1)^{n-2}} + n 4(2x+3) (-1)^{n-2} \frac{3^{n-1} (n-2)!}{(3x-1)^{n-1}} + (2x+3)^2 (-1)^{n-1} \frac{3^{n} (n-1)!}{(3x-1)^{n}}$ $(n \ge 3)$

(2) $f^{(n)}(x) = n(n-1)(n-2) 2^{n-3} \cos(2x-1 + \frac{(n-3)\pi}{2}) + 3n(n-1)x 2^{n-2} \cos(2x-1 + \frac{(n-2)\pi}{2}) + 3nx^2 2^{n-1} \cos(2x-1 + \frac{(n-1)\pi}{2}) + x^3 2^{n} \cos(2x-1 + \frac{n\pi}{2})$ $(n \ge 4)$