問題は2つあります。 * **問題1:** 1次反応式 $C_A = C_0e^{-kt}$ を $t$ について微分し、$-\frac{dC_A}{dt} = kC_A$ を満たすことを示す。 * **問題2:** 関数 $G = H - TS$ を $T$ について微分する。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

* **問題1:** 1次反応式 $C_A = C_0e^{-kt}$ を $t$ について微分し、$-\frac{dC_A}{dt} = kC_A$ を満たすことを示す。

* **問題2:** 関数 $G = H - TS$ を $T$ について微分する。

2. 解き方の手順

* **問題1:**

1. $C_A = C_0e^{-kt}$ を $t$ で微分する。ここで、$C_0$ と $k$ は定数である。

$$\frac{dC_A}{dt} = \frac{d}{dt}(C_0e^{-kt}) = C_0 \frac{d}{dt}(e^{-kt})$$

2. 指数関数の微分を行う。

$$\frac{d}{dt}(e^{-kt}) = -ke^{-kt}$$

3. 上の結果を代入して、$\frac{dC_A}{dt}$ を求める。

$$\frac{dC_A}{dt} = C_0(-ke^{-kt}) = -kC_0e^{-kt}$$

4. $C_A = C_0e^{-kt}$ を代入する。

$$\frac{dC_A}{dt} = -kC_A$$

5. 両辺に -1 をかける。

$$-\frac{dC_A}{dt} = kC_A$$

これで、与えられた条件を満たすことが示された。

* **問題2:**

1. $G = H - TS$ を $T$ について微分する。ここで、$H$ と $S$ は定数である。

$$\frac{dG}{dT} = \frac{d}{dT}(H - TS) = \frac{dH}{dT} - \frac{d(TS)}{dT}$$

2. $H$ は定数なので、$\frac{dH}{dT} = 0$。$S$ も定数なので、$T$ での微分は $S$ となる。

$$\frac{d(TS)}{dT} = S$$

3. 上の結果を代入する。

$$\frac{dG}{dT} = 0 - S = -S$$

3. 最終的な答え

* **問題1:** $-\frac{dC_A}{dt} = kC_A$ が示された。

* **問題2:** $\frac{dG}{dT} = -S$