$0 \le \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 \le \beta \le \pi$ のとき、$\sin{\alpha} = \cos{2\beta}$ を満たす $\beta$ を $\alpha$ で表す。

1. 問題の内容

$0 \le \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 \le \beta \le \pi$ のとき、$\sin{\alpha} = \cos{2\beta}$ を満たす $\beta$ を $\alpha$ で表す。

2. 解き方の手順

$\sin{\alpha} = \cos{2\beta}$ を満たす $\beta$ を求める。

三角関数の性質 $\sin{\alpha} = \cos{(\frac{\pi}{2} - \alpha)}$ を利用する。

$\sin{\alpha} = \cos{2\beta}$ なので、

$\cos{(\frac{\pi}{2} - \alpha)} = \cos{2\beta}$

$\frac{\pi}{2} - \alpha = 2\beta + 2n\pi$ または $\frac{\pi}{2} - \alpha = -2\beta + 2n\pi$ (nは整数)

よって、

$2\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha - 2n\pi$ または $2\beta = -\frac{\pi}{2} + \alpha + 2n\pi$

$\beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} - n\pi$ または $\beta = -\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2} + n\pi$

$0 \le \beta \le \pi$ であるから、

$\beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} - n\pi$ について、

$0 \le \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} - n\pi \le \pi$

$n=0$のとき、$0 \le \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \le \pi$

$-\frac{\pi}{4} \le -\frac{\alpha}{2} \le \frac{3\pi}{4}$

$-\frac{3\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$

$0 \le \alpha < \frac{\pi}{2}$ より、$\beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$ は解の一つ。

$\beta = -\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2} + n\pi$ について、

$0 \le -\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2} + n\pi \le \pi$

$n=1$のとき、$0 \le -\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2} + \pi \le \pi$

$0 \le \frac{3\pi}{4} + \frac{\alpha}{2} \le \pi$

$-\frac{3\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$

$0 \le \alpha < \frac{\pi}{2}$ より、$\beta = -\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2} + \pi = \frac{3\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}$ は解のもう一つ。

$n=0$のとき、$0 \le -\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2} \le \pi$

$\frac{\pi}{4} \le \frac{\alpha}{2} \le \frac{5\pi}{4}$

$\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{5\pi}{2}$

$0 \le \alpha < \frac{\pi}{2}$より、不適。

したがって、$\beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$ または $\beta = \frac{3\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}$

3. 最終的な答え

$\beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}, \frac{3\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}$