広義積分 $\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx$ の値を求める問題です。

## 問題 (4) の解答

1. 問題の内容

広義積分 $\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int e^{-x} dx$ を計算します。

$u = -x$ と置換すると、$du = -dx$ となります。

したがって、

$\int e^{-x} dx = -\int e^u du = -e^u + C = -e^{-x} + C$

となります。

次に、広義積分の定義に従い、積分範囲の上限を有限の値 $t$ で置き換えて、積分を計算します。

$\int_{0}^{t} e^{-x} dx = [-e^{-x}]_{0}^{t} = -e^{-t} - (-e^{-0}) = -e^{-t} + 1$

最後に、$t \to \infty$ の極限を計算します。

$\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{-x} dx = \lim_{t \to \infty} (-e^{-t} + 1)$

ここで、$\lim_{t \to \infty} e^{-t} = 0$ なので、

$\lim_{t \to \infty} (-e^{-t} + 1) = -0 + 1 = 1$

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx = 1$