不定積分 $\int \frac{2x+1}{x^2+4x+5} dx$ を計算します。

## 問題 (7)

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{2x+1}{x^2+4x+5} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分母を平方完成させます。

$x^2+4x+5 = (x^2+4x+4)+1 = (x+2)^2+1$.

したがって、積分は $\int \frac{2x+1}{(x+2)^2+1} dx$ となります。

次に、置換積分を行います。$u = x+2$ とおくと、$x = u-2$ であり、$dx = du$ となります。積分は

$\int \frac{2(u-2)+1}{u^2+1} du = \int \frac{2u-3}{u^2+1} du = \int \frac{2u}{u^2+1} du - \int \frac{3}{u^2+1} du$

と書き換えられます。

ここで、それぞれの積分を計算します。

$\int \frac{2u}{u^2+1} du$ については、$v = u^2+1$ とおくと、$dv = 2u du$ となるので、$\int \frac{2u}{u^2+1} du = \int \frac{1}{v} dv = \ln|v| + C_1 = \ln(u^2+1) + C_1$.

$\int \frac{3}{u^2+1} du$ については、$\int \frac{1}{u^2+1} du = \arctan(u) + C$ を利用すると、$\int \frac{3}{u^2+1} du = 3\arctan(u) + C_2$.

よって、$\int \frac{2u-3}{u^2+1} du = \ln(u^2+1) - 3\arctan(u) + C$ となります。

$u = x+2$ を代入すると、$\ln((x+2)^2+1) - 3\arctan(x+2) + C = \ln(x^2+4x+5) - 3\arctan(x+2) + C$.

3. 最終的な答え

$\ln(x^2+4x+5) - 3\arctan(x+2) + C$

## 問題 (8)

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{3x+1}{x^2+2x-3} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^2+2x-3 = (x+3)(x-1)$.

したがって、積分は $\int \frac{3x+1}{(x+3)(x-1)} dx$ となります。

次に、部分分数分解を行います。

$\frac{3x+1}{(x+3)(x-1)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-1}$

両辺に $(x+3)(x-1)$ をかけると、

$3x+1 = A(x-1) + B(x+3)$.

$x=1$ を代入すると、$3(1)+1 = A(0) + B(1+3) \Rightarrow 4 = 4B \Rightarrow B=1$.

$x=-3$ を代入すると、$3(-3)+1 = A(-3-1) + B(0) \Rightarrow -8 = -4A \Rightarrow A=2$.

したがって、$\frac{3x+1}{(x+3)(x-1)} = \frac{2}{x+3} + \frac{1}{x-1}$.

積分は $\int \left(\frac{2}{x+3} + \frac{1}{x-1}\right) dx = 2\int \frac{1}{x+3} dx + \int \frac{1}{x-1} dx$.

$\int \frac{1}{x+3} dx = \ln|x+3| + C_1$

$\int \frac{1}{x-1} dx = \ln|x-1| + C_2$

よって、$2\ln|x+3| + \ln|x-1| + C = \ln((x+3)^2) + \ln|x-1| + C = \ln|(x+3)^2(x-1)| + C$.

3. 最終的な答え

$\ln|(x+3)^2(x-1)| + C$

## 問題 (9)

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{1}{(x-1)^2(x-2)} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(x-1)^2(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x-2}$

両辺に $(x-1)^2(x-2)$ をかけると、

$1 = A(x-1)(x-2) + B(x-2) + C(x-1)^2$.

$x=1$ を代入すると、$1 = A(0) + B(1-2) + C(0) \Rightarrow 1 = -B \Rightarrow B = -1$.

$x=2$ を代入すると、$1 = A(0) + B(0) + C(2-1)^2 \Rightarrow 1 = C \Rightarrow C = 1$.

$x=0$ を代入すると、$1 = A(-1)(-2) + B(-2) + C(-1)^2 \Rightarrow 1 = 2A - 2B + C \Rightarrow 1 = 2A - 2(-1) + 1 \Rightarrow 1 = 2A + 2 + 1 \Rightarrow -2 = 2A \Rightarrow A = -1$.

したがって、$\frac{1}{(x-1)^2(x-2)} = \frac{-1}{x-1} + \frac{-1}{(x-1)^2} + \frac{1}{x-2}$.

積分は $\int \left(\frac{-1}{x-1} + \frac{-1}{(x-1)^2} + \frac{1}{x-2}\right) dx = -\int \frac{1}{x-1} dx - \int \frac{1}{(x-1)^2} dx + \int \frac{1}{x-2} dx$.

$-\int \frac{1}{x-1} dx = -\ln|x-1| + C_1$

$-\int \frac{1}{(x-1)^2} dx = \frac{1}{x-1} + C_2$

$\int \frac{1}{x-2} dx = \ln|x-2| + C_3$

よって、$-\ln|x-1| + \frac{1}{x-1} + \ln|x-2| + C = \ln\left|\frac{x-2}{x-1}\right| + \frac{1}{x-1} + C$.

3. 最終的な答え

$\ln\left|\frac{x-2}{x-1}\right| + \frac{1}{x-1} + C$

## 問題 (10)

1. 問題の内容

不定積分 $\int \sin^7(x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\int \sin^7(x) dx = \int \sin^6(x) \sin(x) dx = \int (\sin^2(x))^3 \sin(x) dx = \int (1-\cos^2(x))^3 \sin(x) dx$.

$u = \cos(x)$ とおくと、$du = -\sin(x) dx$ となり、$\sin(x) dx = -du$ となります。

したがって、積分は $-\int (1-u^2)^3 du = -\int (1-3u^2+3u^4-u^6) du = -\int (1-3u^2+3u^4-u^6) du$.

$-\int (1-3u^2+3u^4-u^6) du = -(u - u^3 + \frac{3}{5}u^5 - \frac{1}{7}u^7) + C = -u + u^3 - \frac{3}{5}u^5 + \frac{1}{7}u^7 + C$.

$u = \cos(x)$ を代入すると、$-\cos(x) + \cos^3(x) - \frac{3}{5}\cos^5(x) + \frac{1}{7}\cos^7(x) + C$.

3. 最終的な答え

$-\cos(x) + \cos^3(x) - \frac{3}{5}\cos^5(x) + \frac{1}{7}\cos^7(x) + C$