(4) シグマ記号で表された和 $\sum_{k=1}^{5} k(k+3)$ を展開し、その値を計算する。 (5) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^{n-1}$ の値を求める。 (6) 2次関数 $y = -2x^2 + 16x - 20$ の頂点の座標を求める。 (7) 3次関数 $y = -2x^3 + 15x^2 - 36x + 27$ の導関数 $y'$ を求める。 (8) 曲線 $y = x^3 + x^2 + x + 1$ 上の点 $(-1, 0)$ における接線の方程式を求める。 (9) 関数 $y = x^2(3x+5)^3$ の導関数 $y'$ を求める。 (10) 関数 $y = \frac{5x^2 - 9x + 8}{x^2 + 1}$ の導関数 $y'$ を求める。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(4) シグマ記号で表された和 $\sum_{k=1}^{5} k(k+3)$ を展開し、その値を計算する。

(5) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^{n-1}$ の値を求める。

(6) 2次関数 $y = -2x^2 + 16x - 20$ の頂点の座標を求める。

(7) 3次関数 $y = -2x^3 + 15x^2 - 36x + 27$ の導関数 $y'$ を求める。

(8) 曲線 $y = x^3 + x^2 + x + 1$ 上の点 $(-1, 0)$ における接線の方程式を求める。

(9) 関数 $y = x^2(3x+5)^3$ の導関数 $y'$ を求める。

(10) 関数 $y = \frac{5x^2 - 9x + 8}{x^2 + 1}$ の導関数 $y'$ を求める。

2. 解き方の手順

(4)

まず、シグマの中身を展開します。

$k(k+3) = k^2 + 3k$

次に、シグマ記号を展開します。

$\sum_{k=1}^{5} (k^2 + 3k) = \sum_{k=1}^{5} k^2 + 3\sum_{k=1}^{5} k$

$\sum_{k=1}^{5} k = \frac{5(5+1)}{2} = \frac{5 \cdot 6}{2} = 15$

$\sum_{k=1}^{5} k^2 = \frac{5(5+1)(2\cdot5+1)}{6} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} = 55$

したがって、$\sum_{k=1}^{5} k(k+3) = 55 + 3(15) = 55 + 45 = 100$

(5)

無限等比級数の公式を使います。

$\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1-r}$

この問題では、$a = 1$、$r = \frac{1}{3}$ なので、

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$

(6)

2次関数を平方完成します。

$y = -2x^2 + 16x - 20 = -2(x^2 - 8x) - 20 = -2(x^2 - 8x + 16 - 16) - 20 = -2((x-4)^2 - 16) - 20 = -2(x-4)^2 + 32 - 20 = -2(x-4)^2 + 12$

頂点の座標は $(4, 12)$

(7)

導関数を計算します。

$y = -2x^3 + 15x^2 - 36x + 27$

$y' = -6x^2 + 30x - 36$

(8)

接線の傾きを求めます。

$y = x^3 + x^2 + x + 1$

$y' = 3x^2 + 2x + 1$

$x = -1$ のとき、$y' = 3(-1)^2 + 2(-1) + 1 = 3 - 2 + 1 = 2$

接線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$

$y - 0 = 2(x - (-1))$

$y = 2(x + 1)$

$y = 2x + 2$

(9)

積の微分と合成関数の微分を使います。

$y = x^2(3x+5)^3$

$y' = 2x(3x+5)^3 + x^2 \cdot 3(3x+5)^2 \cdot 3 = 2x(3x+5)^3 + 9x^2(3x+5)^2 = x(3x+5)^2[2(3x+5) + 9x] = x(3x+5)^2(6x+10+9x) = x(3x+5)^2(15x+10) = 5x(3x+5)^2(3x+2)$

(10)

商の微分を使います。

$y = \frac{5x^2 - 9x + 8}{x^2 + 1}$

$y' = \frac{(10x - 9)(x^2 + 1) - (5x^2 - 9x + 8)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{10x^3 - 9x^2 + 10x - 9 - (10x^3 - 18x^2 + 16x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{9x^2 - 6x - 9}{(x^2 + 1)^2} = \frac{3(3x^2 - 2x - 3)}{(x^2 + 1)^2}$

3. 最終的な答え

(4) $\sum_{k=1}^{5} k(k+3) = k^2 + 3k = 100$

(5) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{3}{2}$

(6) 頂点の座標は $(4, 12)$

(7) $y' = -6x^2 + 30x - 36$

(8) $y = 2x + 2$

(9) $y' = 5x(3x+5)^2(3x+2)$

(10) $y' = \frac{3(3x^2 - 2x - 3)}{(x^2 + 1)^2}$