与えられた二つの不定積分を計算する問題です。 (1) $\int \frac{1}{25x^2 - 30x + 16} dx$ (2) $\int \sqrt{-9x^2 + 12x + 7} dx$

1. 問題の内容

与えられた二つの不定積分を計算する問題です。

(1) $\int \frac{1}{25x^2 - 30x + 16} dx$

(2) $\int \sqrt{-9x^2 + 12x + 7} dx$

2. 解き方の手順

(1)

分母を平方完成させます。

$25x^2 - 30x + 16 = (5x)^2 - 2(5x)(3) + 9 + 7 = (5x-3)^2 + 7$

よって、積分は

$\int \frac{1}{(5x-3)^2 + 7} dx$

$5x - 3 = \sqrt{7} \tan{\theta}$とおくと、$5dx = \sqrt{7} \sec^2{\theta} d\theta$ より $dx = \frac{\sqrt{7}}{5} \sec^2{\theta} d\theta$。

したがって、

$\int \frac{1}{(5x-3)^2 + 7} dx = \int \frac{1}{7 \tan^2{\theta} + 7} \cdot \frac{\sqrt{7}}{5} \sec^2{\theta} d\theta = \int \frac{1}{7 \sec^2{\theta}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{5} \sec^2{\theta} d\theta = \int \frac{\sqrt{7}}{35} d\theta = \frac{\sqrt{7}}{35} \theta + C$

ここで、$\tan{\theta} = \frac{5x-3}{\sqrt{7}}$より$\theta = \arctan{\frac{5x-3}{\sqrt{7}}}$

よって、

$\int \frac{1}{25x^2 - 30x + 16} dx = \frac{\sqrt{7}}{35} \arctan{\frac{5x-3}{\sqrt{7}}} + C$

(2)

根号の中身を平方完成します。

$-9x^2 + 12x + 7 = -9(x^2 - \frac{4}{3}x) + 7 = -9(x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} - \frac{4}{9}) + 7 = -9(x - \frac{2}{3})^2 + 4 + 7 = 11 - 9(x-\frac{2}{3})^2 = 11 - (3x - 2)^2$

よって、積分は

$\int \sqrt{11 - (3x - 2)^2} dx$

$3x - 2 = \sqrt{11} \sin{\theta}$ とおくと、$3dx = \sqrt{11} \cos{\theta} d\theta$より、$dx = \frac{\sqrt{11}}{3} \cos{\theta} d\theta$

したがって、

$\int \sqrt{11 - (3x - 2)^2} dx = \int \sqrt{11 - 11\sin^2{\theta}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{3} \cos{\theta} d\theta = \int \sqrt{11} \cos{\theta} \cdot \frac{\sqrt{11}}{3} \cos{\theta} d\theta = \int \frac{11}{3} \cos^2{\theta} d\theta = \int \frac{11}{3} \cdot \frac{1 + \cos{2\theta}}{2} d\theta = \frac{11}{6} \int (1 + \cos{2\theta}) d\theta = \frac{11}{6} (\theta + \frac{1}{2} \sin{2\theta}) + C = \frac{11}{6} (\theta + \sin{\theta}\cos{\theta}) + C$

ここで、$\sin{\theta} = \frac{3x - 2}{\sqrt{11}}$より$\theta = \arcsin{\frac{3x - 2}{\sqrt{11}}}$

また、$\cos{\theta} = \sqrt{1 - \sin^2{\theta}} = \sqrt{1 - \frac{(3x - 2)^2}{11}} = \sqrt{\frac{11 - (3x - 2)^2}{11}} = \sqrt{\frac{-9x^2 + 12x + 7}{11}}$

よって、

$\int \sqrt{-9x^2 + 12x + 7} dx = \frac{11}{6} \arcsin{\frac{3x - 2}{\sqrt{11}}} + \frac{11}{6} \cdot \frac{3x - 2}{\sqrt{11}} \cdot \sqrt{\frac{-9x^2 + 12x + 7}{11}} + C = \frac{11}{6} \arcsin{\frac{3x - 2}{\sqrt{11}}} + \frac{3x - 2}{6} \sqrt{-9x^2 + 12x + 7} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{1}{25x^2 - 30x + 16} dx = \frac{\sqrt{7}}{35} \arctan{\frac{5x-3}{\sqrt{7}}} + C$

(2) $\int \sqrt{-9x^2 + 12x + 7} dx = \frac{11}{6} \arcsin{\frac{3x - 2}{\sqrt{11}}} + \frac{3x - 2}{6} \sqrt{-9x^2 + 12x + 7} + C$