与えられた関数を微分する問題です。 問1: $y = x^2 e^{-x}$ を微分する。 問2: $y = \frac{\ln x}{x}$ を微分する。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。

問1: $y = x^2 e^{-x}$ を微分する。

問2: $y = \frac{\ln x}{x}$ を微分する。

2. 解き方の手順

問1: $y = x^2 e^{-x}$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x^2$, $v = e^{-x}$ とおくと、

$u' = 2x$, $v' = -e^{-x}$ となります。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = (x^2)' e^{-x} + x^2 (e^{-x})'$

$\frac{dy}{dx} = 2x e^{-x} + x^2 (-e^{-x})$

$\frac{dy}{dx} = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x}$

$\frac{dy}{dx} = (2x - x^2) e^{-x}$

問2: $y = \frac{\ln x}{x}$ の微分

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = \ln x$, $v = x$ とおくと、

$u' = \frac{1}{x}$, $v' = 1$ となります。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{(\ln x)' x - (\ln x) (x)'}{x^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{x} x - (\ln x) (1)}{x^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$

3. 最終的な答え

問1: $\frac{dy}{dx} = (2x - x^2) e^{-x}$

問2: $\frac{dy}{dx} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$