与えられた関数 $f(x)$ の、指定された点 $a$ と $b$ における3次の有限テイラー展開を求める問題です。剰余項は$R_4$として良いとのことです。 (1) $f(x) = x^5 - 5x^4 + 6x^3 + x^2 - 2x - 3$ (a) $x=0$ (b) $x=1$ (2) $f(x) = \log |2x+3|$ (a) $x=0$ (b) $x=-1$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ の、指定された点 $a$ と $b$ における3次の有限テイラー展開を求める問題です。剰余項は$R_4$として良いとのことです。

(1) $f(x) = x^5 - 5x^4 + 6x^3 + x^2 - 2x - 3$

(a) $x=0$

(b) $x=1$

(2) $f(x) = \log |2x+3|$

(a) $x=0$

(b) $x=-1$

2. 解き方の手順

テイラー展開は一般に次の形で表されます。

$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + R_4$

(1) $f(x) = x^5 - 5x^4 + 6x^3 + x^2 - 2x - 3$

(a) $x=0$

$f(0) = -3$

$f'(x) = 5x^4 - 20x^3 + 18x^2 + 2x - 2$

$f'(0) = -2$

$f''(x) = 20x^3 - 60x^2 + 36x + 2$

$f''(0) = 2$

$f'''(x) = 60x^2 - 120x + 36$

$f'''(0) = 36$

したがって、

$f(x) = -3 - 2x + \frac{2}{2}x^2 + \frac{36}{6}x^3 + R_4 = -3 - 2x + x^2 + 6x^3 + R_4$

(b) $x=1$

$f(1) = 1 - 5 + 6 + 1 - 2 - 3 = -2$

$f'(1) = 5 - 20 + 18 + 2 - 2 = 3$

$f''(1) = 20 - 60 + 36 + 2 = -2$

$f'''(1) = 60 - 120 + 36 = -24$

したがって、

$f(x) = -2 + 3(x-1) + \frac{-2}{2}(x-1)^2 + \frac{-24}{6}(x-1)^3 + R_4 = -2 + 3(x-1) - (x-1)^2 - 4(x-1)^3 + R_4$

(2) $f(x) = \log |2x+3|$

(a) $x=0$

$f(0) = \log |3| = \log 3$

$f'(x) = \frac{2}{2x+3}$

$f'(0) = \frac{2}{3}$

$f''(x) = \frac{-4}{(2x+3)^2}$

$f''(0) = \frac{-4}{9}$

$f'''(x) = \frac{16}{(2x+3)^3}$

$f'''(0) = \frac{16}{27}$

したがって、

$f(x) = \log 3 + \frac{2}{3}x + \frac{-4/9}{2}x^2 + \frac{16/27}{6}x^3 + R_4 = \log 3 + \frac{2}{3}x - \frac{2}{9}x^2 + \frac{8}{81}x^3 + R_4$

(b) $x=-1$

$f(-1) = \log |2(-1)+3| = \log |1| = 0$

$f'(-1) = \frac{2}{2(-1)+3} = 2$

$f''(-1) = \frac{-4}{(2(-1)+3)^2} = -4$

$f'''(-1) = \frac{16}{(2(-1)+3)^3} = 16$

したがって、

$f(x) = 0 + 2(x+1) + \frac{-4}{2}(x+1)^2 + \frac{16}{6}(x+1)^3 + R_4 = 2(x+1) - 2(x+1)^2 + \frac{8}{3}(x+1)^3 + R_4$

3. 最終的な答え

(1)

(a) $f(x) = -3 - 2x + x^2 + 6x^3 + R_4$

(b) $f(x) = -2 + 3(x-1) - (x-1)^2 - 4(x-1)^3 + R_4$

(2)

(a) $f(x) = \log 3 + \frac{2}{3}x - \frac{2}{9}x^2 + \frac{8}{81}x^3 + R_4$

(b) $f(x) = 2(x+1) - 2(x+1)^2 + \frac{8}{3}(x+1)^3 + R_4$