半径5.00cmの金属球を温めたところ、半径が5.02cmになった。このとき、体積が約何cm³増加したかを、半径 $x$ cmの球の体積を $f(x)$ cm³とおいて、$f(x)$ の1次近似式を用いて計算する。ただし、$\pi=3.14$とする。

1. 問題の内容

半径5.00cmの金属球を温めたところ、半径が5.02cmになった。このとき、体積が約何cm³増加したかを、半径 $x$ cmの球の体積を $f(x)$ cm³とおいて、$f(x)$ の1次近似式を用いて計算する。ただし、$\pi=3.14$とする。

2. 解き方の手順

球の体積の公式は、$V = \frac{4}{3}\pi r^3$である。

ここで、$f(x)$ は半径 $x$ cmの球の体積を表すので、

$f(x) = \frac{4}{3}\pi x^3$

1次近似式を求めるためには、微分が必要である。

$f'(x) = \frac{4}{3}\pi \cdot 3x^2 = 4\pi x^2$

$x=5$ における $f(x)$ の1次近似式は、

$f(x) \approx f(5) + f'(5)(x-5)$

変化量を知りたいので、$x = 5.02$を代入する。

$f(5.02) \approx f(5) + f'(5)(5.02-5)$

体積の増加量は、$f(5.02) - f(5)$で近似できる。

$f(5.02) - f(5) \approx f'(5)(5.02 - 5) = f'(5)(0.02)$

$f'(5) = 4\pi (5^2) = 4\pi \cdot 25 = 100\pi$

したがって、体積の増加量は、

$f(5.02) - f(5) \approx 100\pi \cdot 0.02 = 2\pi$

$\pi=3.14$を代入すると、

$2\pi = 2 \times 3.14 = 6.28$

3. 最終的な答え

6. 28 cm³