領域 $D = \{(x, y) | 0 \le x \le \frac{\pi}{2}, 0 \le y \le \frac{\pi}{2}\}$ において、二重積分 $\iint_D \sin(x + 2y) \, dx \, dy$ を計算します。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | 0 \le x \le \frac{\pi}{2}, 0 \le y \le \frac{\pi}{2}\}$ において、二重積分 $\iint_D \sin(x + 2y) \, dx \, dy$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ で積分します。

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\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x + 2y) \, dx = [-\cos(x + 2y)]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\cos(\frac{\pi}{2} + 2y) + \cos(2y) = \sin(2y) + \cos(2y).

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次に、$y$ で積分します。

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\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin(2y) + \cos(2y)) \, dy = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2y) \, dy + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(2y) \, dy

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= \left[-\frac{1}{2}\cos(2y)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} + \left[\frac{1}{2}\sin(2y)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}

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= \left(-\frac{1}{2}\cos(\pi) + \frac{1}{2}\cos(0)\right) + \left(\frac{1}{2}\sin(\pi) - \frac{1}{2}\sin(0)\right)

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= \left(-\frac{1}{2}(-1) + \frac{1}{2}(1)\right) + \left(\frac{1}{2}(0) - \frac{1}{2}(0)\right)

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= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0 =

1. $$

3. 最終的な答え

$\iint_D \sin(x + 2y) \, dx \, dy = 1$