二重積分 $\iint_D xy^2 dx dy$ を計算します。積分領域 D は $0 \le y \le x \le 1$ で定義されます。

1. 問題の内容

二重積分 $\iint_D xy^2 dx dy$ を計算します。積分領域 D は $0 \le y \le x \le 1$ で定義されます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた積分領域Dに基づいて、二重積分の積分範囲を設定します。$0 \le y \le 1$ であり、$y \le x \le 1$ であるため、積分は次のようになります。

$\iint_D xy^2 dx dy = \int_0^1 \int_y^1 xy^2 dx dy$

まず、$x$について積分します。

$\int_y^1 xy^2 dx = y^2 \int_y^1 x dx = y^2 \left[\frac{x^2}{2}\right]_y^1 = y^2 \left(\frac{1}{2} - \frac{y^2}{2}\right) = \frac{y^2}{2} - \frac{y^4}{2}$

次に、$y$について積分します。

$\int_0^1 \left(\frac{y^2}{2} - \frac{y^4}{2}\right) dy = \frac{1}{2} \int_0^1 (y^2 - y^4) dy = \frac{1}{2} \left[\frac{y^3}{3} - \frac{y^5}{5}\right]_0^1 = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{5-3}{15}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{2}{15}\right) = \frac{1}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{15}$