以下の逆三角関数の値を求める問題です。 (1) $\sin^{-1}\frac{1}{2}$ (2) $\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})$ (3) $\tan(\sin^{-1}\frac{3}{5})$ (4) $\cos(\tan^{-1}(-\frac{2\sqrt{6}}{5}))$ (5) $\tan^{-1}2 + \tan^{-1}\frac{1}{3}$ (6) $\cos^{-1}\frac{7}{25} + 2\cos^{-1}\frac{3}{5}$

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の逆三角関数の値を求める問題です。

(1) $\sin^{-1}\frac{1}{2}$

(2) $\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})$

(3) $\tan(\sin^{-1}\frac{3}{5})$

(4) $\cos(\tan^{-1}(-\frac{2\sqrt{6}}{5}))$

(5) $\tan^{-1}2 + \tan^{-1}\frac{1}{3}$

(6) $\cos^{-1}\frac{7}{25} + 2\cos^{-1}\frac{3}{5}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin^{-1}\frac{1}{2}$

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ となる$\theta$を求めます。 $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$の範囲で考えると、$\theta = \frac{\pi}{6}$となります。

(2) $\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})$

$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ となる$\theta$を求めます。 $0 \leq \theta \leq \pi$の範囲で考えると、$\theta = \frac{3\pi}{4}$となります。

(3) $\tan(\sin^{-1}\frac{3}{5})$

$\sin^{-1}\frac{3}{5} = \theta$とすると、$\sin \theta = \frac{3}{5}$となります。

直角三角形を考えると、高さが3、斜辺が5なので、底辺は$\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$となります。

したがって、$\tan \theta = \frac{3}{4}$となります。

(4) $\cos(\tan^{-1}(-\frac{2\sqrt{6}}{5}))$

$\tan^{-1}(-\frac{2\sqrt{6}}{5}) = \theta$とすると、$\tan \theta = -\frac{2\sqrt{6}}{5}$となります。

直角三角形を考えると、高さが$2\sqrt{6}$、底辺が5なので、斜辺は$\sqrt{(2\sqrt{6})^2 + 5^2} = \sqrt{24 + 25} = \sqrt{49} = 7$となります。

$\tan \theta$ が負なので、$\theta$ は第四象限にあります。したがって、$\cos \theta = \frac{5}{7}$となります。

(5) $\tan^{-1}2 + \tan^{-1}\frac{1}{3}$

$\tan^{-1}2 = \alpha$, $\tan^{-1}\frac{1}{3} = \beta$とおくと、$\tan \alpha = 2$, $\tan \beta = \frac{1}{3}$

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{2 + \frac{1}{3}}{1 - 2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{1}{3}} = 7$

$\alpha + \beta = \tan^{-1} 7$

$\tan^{-1}2$の範囲は$\frac{\pi}{2}$に近く、$\tan^{-1}\frac{1}{3}$の範囲は0に近いため、$\tan^{-1}2 + \tan^{-1}\frac{1}{3}$は$\frac{\pi}{2}$より大きい可能性があります。$\frac{\pi}{2} < \alpha + \beta < \frac{3 \pi}{2}$ です。

$\tan(\alpha + \beta) = 7$なので、$\alpha + \beta = \pi + \tan^{-1}7$

tan の加法定理の公式に代入して計算し、求めた角度の範囲に注意すると、 $\tan^{-1}2 + \tan^{-1}\frac{1}{3}= \frac{\pi}{4}$となります。

(6) $\cos^{-1}\frac{7}{25} + 2\cos^{-1}\frac{3}{5}$

$\cos^{-1}\frac{3}{5} = \theta$とおくと、$\cos \theta = \frac{3}{5}$

$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 2(\frac{3}{5})^2 - 1 = 2(\frac{9}{25}) - 1 = \frac{18}{25} - 1 = -\frac{7}{25}$

$\cos^{-1}\frac{7}{25} + 2\cos^{-1}\frac{3}{5} = \cos^{-1}\frac{7}{25} + \cos^{-1}(-\frac{7}{25}) = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{6}$

(2) $\frac{3\pi}{4}$

(3) $\frac{3}{4}$

(4) $\frac{5}{7}$

(5) $\frac{\pi}{4}$

(6) $\pi$