正弦関数 $y = \sin x$ の逆関数を求め、そのグラフを描く。

1. 問題の内容

正弦関数 $y = \sin x$ の逆関数を求め、そのグラフを描く。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sin x$ の逆関数を求める。逆関数を求めるには、$x$ と $y$ を入れ替える。

$$x = \sin y$$

次に、$y$ について解く。この場合、$y$ は $x$ の逆正弦関数となる。

$$y = \arcsin x$$

または

$$y = \sin^{-1} x$$

ただし、$\sin x$ は全範囲で単調増加ではないため、逆関数を定義するには範囲を制限する必要がある。一般的に、逆正弦関数は定義域を $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$ と定義する。したがって、逆関数の定義域は $-1 \leq x \leq 1$ となる。

グラフは、通常、$y = \sin x$ のグラフを直線 $y = x$ に関して反転させることで得られる。定義域に注意しながらグラフを描く。逆正弦関数 $y = \arcsin x$ のグラフは、定義域 $-1 \leq x \leq 1$ の範囲で、$x = 0$ のとき $y = 0$、$x = 1$ のとき $y = \frac{\pi}{2}$、$x = -1$ のとき $y = -\frac{\pi}{2}$ を通る滑らかな曲線になる。

3. 最終的な答え

逆関数: $y = \arcsin x$ または $y = \sin^{-1} x$ (定義域: $-1 \leq x \leq 1$, 値域: $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$)

(グラフは省略。グラフを描く際は、上記の定義域と値域に注意して、滑らかな曲線を描いてください。)