(3)の問題を解きます。 まず、$0 \le \theta < \pi$ のとき、$\sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta \le 1$ を満たす $\theta$ の範囲を求めます。 次に、$0 \le x < \pi$ のとき、$\cos3x - 2\cos2x + \cos x = 0$ の解を求めます。

1. 問題の内容

(3)の問題を解きます。

まず、$0 \le \theta < \pi$ のとき、$\sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta \le 1$ を満たす $\theta$ の範囲を求めます。

次に、$0 \le x < \pi$ のとき、$\cos3x - 2\cos2x + \cos x = 0$ の解を求めます。

2. 解き方の手順

(3) の前半部分を解きます。

$\sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta$ を三角関数の合成を用いて変形します。

$\sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta = 2\sin(\theta - \frac{\pi}{6})$

したがって、$\sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta \le 1$ は $2\sin(\theta - \frac{\pi}{6}) \le 1$ と同値です。

$\sin(\theta - \frac{\pi}{6}) \le \frac{1}{2}$

ここで、$0 \le \theta < \pi$ より $-\frac{\pi}{6} \le \theta - \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{6}$ です。

$\sin(\theta - \frac{\pi}{6}) \le \frac{1}{2}$ を満たす $\theta - \frac{\pi}{6}$ の範囲は $-\frac{\pi}{6} \le \theta - \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} \le \theta - \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{6}$ です。

したがって、$-\frac{\pi}{6} \le \theta - \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{6}$ より $0 \le \theta \le \frac{\pi}{3}$

または$\theta - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$を満たす$\theta$は存在しません。

よって、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{3}$

(3) の後半部分を解きます。

$\cos3x - 2\cos2x + \cos x = 0$ を解きます。

$\cos3x = 4\cos^3x - 3\cos x$

$\cos2x = 2\cos^2x - 1$

これらを代入すると、

$4\cos^3x - 3\cos x - 2(2\cos^2x - 1) + \cos x = 0$

$4\cos^3x - 4\cos^2x - 2\cos x + 2 = 0$

$2\cos^3x - 2\cos^2x - \cos x + 1 = 0$

$(\cos x - 1)(2\cos^2 x - 1) = 0$

したがって、$\cos x = 1$ または $\cos x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$

$0 \le x < \pi$ より、

$\cos x = 1$ のとき $x = 0$

$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $x = \frac{\pi}{4}$

$\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $x = \frac{3\pi}{4}$

したがって、$x = 0, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta \le 1$ を満たす $\theta$ の範囲は $0 \le \theta \le \frac{\pi}{3}$

$\cos3x - 2\cos2x + \cos x = 0$ の解は $x = 0, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$