次の不定積分を計算します。 $\int \frac{2x-3}{x^2-3x+4} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int \frac{2x-3}{x^2-3x+4} dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数の分子が分母の導関数になっているかを確認します。分母の導関数は $2x-3$ であるので、この不定積分は簡単に計算できます。

$u = x^2-3x+4$ と置換します。

すると、$\frac{du}{dx} = 2x-3$ となり、$du = (2x-3)dx$ が得られます。

したがって、与えられた不定積分は次のように書き換えられます。

$\int \frac{2x-3}{x^2-3x+4} dx = \int \frac{1}{u} du$

$\int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C$ （ここで $C$ は積分定数です）

$u$ を元の式に戻すと、次のようになります。

$\ln|u| + C = \ln|x^2 - 3x + 4| + C$

ここで、$x^2 - 3x + 4$ は常に正であることに注意してください。なぜなら、$x^2 - 3x + 4 = (x-\frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4} > 0$ だからです。

したがって、絶対値記号は省略できます。

3. 最終的な答え

$\int \frac{2x-3}{x^2-3x+4} dx = \ln(x^2-3x+4) + C$