与えられた積分の問題を解きます。 積分は $\int (\log x)^2 dx$ です。解析学積分部分積分対数関数2025/7/281. 問題の内容与えられた積分の問題を解きます。積分は ∫(logx)2dx\int (\log x)^2 dx∫(logx)2dx です。2. 解き方の手順部分積分を2回適用します。まず、u=(logx)2u = (\log x)^2u=(logx)2, dv=dxdv = dxdv=dx とおくと、du=2(logx)⋅1xdxdu = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} dxdu=2(logx)⋅x1dx, v=xv = xv=x となります。部分積分の公式 ∫udv=uv−∫vdu\int u dv = uv - \int v du∫udv=uv−∫vdu を用いると、∫(logx)2dx=x(logx)2−∫x⋅2(logx)⋅1xdx=x(logx)2−2∫logxdx\int (\log x)^2 dx = x(\log x)^2 - \int x \cdot 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx = x(\log x)^2 - 2\int \log x dx∫(logx)2dx=x(logx)2−∫x⋅2(logx)⋅x1dx=x(logx)2−2∫logxdx次に、∫logxdx\int \log x dx∫logxdx を部分積分で計算します。u=logxu = \log xu=logx, dv=dxdv = dxdv=dx とおくと、du=1xdxdu = \frac{1}{x} dxdu=x1dx, v=xv = xv=x となります。∫logxdx=xlogx−∫x⋅1xdx=xlogx−∫1dx=xlogx−x+C\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int 1 dx = x \log x - x + C∫logxdx=xlogx−∫x⋅x1dx=xlogx−∫1dx=xlogx−x+Cしたがって、∫(logx)2dx=x(logx)2−2(xlogx−x)+C=x(logx)2−2xlogx+2x+C\int (\log x)^2 dx = x(\log x)^2 - 2(x \log x - x) + C = x(\log x)^2 - 2x \log x + 2x + C∫(logx)2dx=x(logx)2−2(xlogx−x)+C=x(logx)2−2xlogx+2x+C3. 最終的な答えx(logx)2−2xlogx+2x+Cx (\log x)^2 - 2 x \log x + 2 x + Cx(logx)2−2xlogx+2x+C