与えられた積分の問題を解きます。 積分は $\int (\log x)^2 dx$ です。

解析学積分部分積分対数関数
2025/7/28

1. 問題の内容

与えられた積分の問題を解きます。
積分は (logx)2dx\int (\log x)^2 dx です。

2. 解き方の手順

部分積分を2回適用します。
まず、u=(logx)2u = (\log x)^2, dv=dxdv = dx とおくと、du=2(logx)1xdxdu = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx, v=xv = x となります。部分積分の公式 udv=uvvdu\int u dv = uv - \int v du を用いると、
(logx)2dx=x(logx)2x2(logx)1xdx=x(logx)22logxdx\int (\log x)^2 dx = x(\log x)^2 - \int x \cdot 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx = x(\log x)^2 - 2\int \log x dx
次に、logxdx\int \log x dx を部分積分で計算します。
u=logxu = \log x, dv=dxdv = dx とおくと、du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx, v=xv = x となります。
logxdx=xlogxx1xdx=xlogx1dx=xlogxx+C\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int 1 dx = x \log x - x + C
したがって、
(logx)2dx=x(logx)22(xlogxx)+C=x(logx)22xlogx+2x+C\int (\log x)^2 dx = x(\log x)^2 - 2(x \log x - x) + C = x(\log x)^2 - 2x \log x + 2x + C

3. 最終的な答え

x(logx)22xlogx+2x+Cx (\log x)^2 - 2 x \log x + 2 x + C

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