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与えられた定積分 $\int_{1}^{\infty} xe^{-x^2} dx$ を計算します。

解析学定積分置換積分広義積分指数関数
2025/7/28

1. 問題の内容

与えられた定積分 ∫1∞xe−x2dx\int_{1}^{\infty} xe^{-x^2} dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 ∫xe−x2dx\int xe^{-x^2} dx を求めます。u=−x2u = -x^2 と置換すると、dudx=−2x\frac{du}{dx} = -2x より dx=du−2xdx = \frac{du}{-2x} となります。
よって、
∫xe−x2dx=∫xeudu−2x=−12∫eudu=−12eu+C=−12e−x2+C\int xe^{-x^2} dx = \int xe^u \frac{du}{-2x} = -\frac{1}{2} \int e^u du = -\frac{1}{2} e^u + C = -\frac{1}{2} e^{-x^2} + C
となります。
次に、定積分を計算します。
∫1∞xe−x2dx=lim⁡b→∞∫1bxe−x2dx\int_{1}^{\infty} xe^{-x^2} dx = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} xe^{-x^2} dx
=lim⁡b→∞[−12e−x2]1b= \lim_{b \to \infty} \left[-\frac{1}{2} e^{-x^2}\right]_{1}^{b}
=lim⁡b→∞(−12e−b2−(−12e−12))= \lim_{b \to \infty} \left(-\frac{1}{2} e^{-b^2} - \left(-\frac{1}{2} e^{-1^2}\right)\right)
=lim⁡b→∞(−12e−b2+12e−1)= \lim_{b \to \infty} \left(-\frac{1}{2} e^{-b^2} + \frac{1}{2} e^{-1}\right)
e−b2e^{-b^2} は b→∞b \to \infty で 0 に収束するので、
=−12(0)+12e−1=12e−1=12e= -\frac{1}{2} (0) + \frac{1}{2} e^{-1} = \frac{1}{2} e^{-1} = \frac{1}{2e}

3. 最終的な答え

12e\frac{1}{2e}

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