与えられた積分 $\int \frac{2x+1}{x^2-4} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{2x+1}{x^2-4} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ であるから、

$\frac{2x+1}{x^2-4} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}$ とおく。

両辺に $x^2-4$ をかけると、

$2x+1 = A(x+2) + B(x-2)$

$2x+1 = (A+B)x + (2A-2B)$

係数を比較して、

$A+B = 2$

$2A-2B = 1$

この連立方程式を解く。

第2式を2で割ると $A-B = \frac{1}{2}$

$A+B = 2$ と $A-B = \frac{1}{2}$ を足すと、

$2A = \frac{5}{2}$ より、 $A = \frac{5}{4}$

$B = 2 - A = 2 - \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$

したがって、

$\frac{2x+1}{x^2-4} = \frac{5/4}{x-2} + \frac{3/4}{x+2}$

よって、積分は

$\int \frac{2x+1}{x^2-4} dx = \int \left(\frac{5/4}{x-2} + \frac{3/4}{x+2}\right) dx$

$= \frac{5}{4} \int \frac{1}{x-2} dx + \frac{3}{4} \int \frac{1}{x+2} dx$

$= \frac{5}{4} \ln|x-2| + \frac{3}{4} \ln|x+2| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{4} \ln|x-2| + \frac{3}{4} \ln|x+2| + C$