$\int \cos^4 x \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int \cos^4 x \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

$\cos^4 x$ を直接積分するのは難しいので、三角関数の恒等式を使って次数を下げます。まず、半角の公式 $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ を使います。

$\cos^4 x = (\cos^2 x)^2 = \left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} (1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x)$

さらに、$\cos^2 2x$ に対して半角の公式を適用します。

$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$

したがって、

$\cos^4 x = \frac{1}{4} \left(1 + 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}\right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \cos 4x = \frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{8} \cos 4x$

これより、積分は以下のようになります。

$\int \cos^4 x \, dx = \int \left( \frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{8} \cos 4x \right) \, dx$

各項を積分します。

$\int \frac{3}{8} \, dx = \frac{3}{8} x$

$\int \frac{1}{2} \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin 2x = \frac{1}{4} \sin 2x$

$\int \frac{1}{8} \cos 4x \, dx = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4} \sin 4x = \frac{1}{32} \sin 4x$

したがって、

$\int \cos^4 x \, dx = \frac{3}{8} x + \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{1}{32} \sin 4x + C$

3. 最終的な答え

$\int \cos^4 x \, dx = \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x + C$