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$a$ が正の定数のとき、$(a^x)' = a^x \log a$ であることを証明する。

解析学指数関数微分対数
2025/7/28

1. 問題の内容

aa が正の定数のとき、(ax)′=axlog⁡a(a^x)' = a^x \log a であることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、y=axy = a^x とおく。両辺の自然対数をとると、
log⁡y=log⁡ax=xlog⁡a\log y = \log a^x = x \log a
となる。
次に、この両辺を xx で微分する。
1ydydx=log⁡a\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log a
したがって、
dydx=ylog⁡a=axlog⁡a\frac{dy}{dx} = y \log a = a^x \log a
となる。
よって、
(ax)′=axlog⁡a(a^x)' = a^x \log a
が証明された。

3. 最終的な答え

(ax)′=axlog⁡a(a^x)' = a^x \log a

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