$\int \frac{dx}{1 + \cos x}$ を計算する。

1. 問題の内容

$\int \frac{dx}{1 + \cos x}$ を計算する。

2. 解き方の手順

半角の公式を用いて、$\cos x$を$\tan$の関数に書き換える。

$\cos x = \frac{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}$

これを積分に代入すると、

$\int \frac{dx}{1 + \frac{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}}$

$\int \frac{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2} + 1 - \tan^2 \frac{x}{2}} dx$

$\int \frac{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}{2} dx$

ここで、$1 + \tan^2 \frac{x}{2} = \sec^2 \frac{x}{2}$ であるから

$\int \frac{\sec^2 \frac{x}{2}}{2} dx$

$\frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{x}{2} dx$

$\frac{x}{2} = u$ と置換すると、$dx = 2 du$ であるから、

$\frac{1}{2} \int \sec^2 u \cdot 2 du$

$\int \sec^2 u du$

$\tan u + C$

$u = \frac{x}{2}$ を代入すると、

$\tan \frac{x}{2} + C$

3. 最終的な答え

$\tan \frac{x}{2} + C$