与えられた積分 $\int x \cos^2 x \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x \cos^2 x \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2 x$ を倍角の公式を使って変形します。

$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ より、 $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ となります。

したがって、積分は以下のようになります。

$\int x \cos^2 x \, dx = \int x \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) dx = \frac{1}{2} \int (x + x\cos 2x) dx$

次に、$\int (x + x\cos 2x) dx$ を計算します。これは、$\int x \, dx$ と $\int x\cos 2x \, dx$ に分けて計算できます。

$\int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1$ です。

$\int x\cos 2x \, dx$ は部分積分を使って計算します。 $u = x$, $dv = \cos 2x \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = \frac{1}{2}\sin 2x$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を適用すると、

$\int x\cos 2x \, dx = x \left( \frac{1}{2}\sin 2x \right) - \int \frac{1}{2}\sin 2x \, dx = \frac{1}{2}x\sin 2x - \frac{1}{2} \int \sin 2x \, dx = \frac{1}{2}x\sin 2x - \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2}\cos 2x \right) + C_2 = \frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C_2$

したがって、

$\int (x + x\cos 2x) dx = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C$ となります。

最初の式に戻すと、

$\frac{1}{2} \int (x + x\cos 2x) dx = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x \right) + C = \frac{x^2}{4} + \frac{1}{4}x\sin 2x + \frac{1}{8}\cos 2x + C$

3. 最終的な答え

$\int x \cos^2 x \, dx = \frac{x^2}{4} + \frac{1}{4}x\sin 2x + \frac{1}{8}\cos 2x + C$