$\int \sin^3 x \cos^2 x \, dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\int \sin^3 x \cos^2 x \, dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^3 x$ を $\sin^2 x \cdot \sin x$ に分解します。

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ であることを利用して、積分を書き換えます。

$\int \sin^3 x \cos^2 x \, dx = \int \sin^2 x \cos^2 x \sin x \, dx = \int (1-\cos^2 x)\cos^2 x \sin x \, dx$

ここで、$u = \cos x$ と置換すると、 $du = -\sin x \, dx$ となります。よって、積分は次のようになります。

$\int (1-\cos^2 x)\cos^2 x \sin x \, dx = \int (1-u^2)u^2 (-du) = -\int (u^2 - u^4) \, du = \int (u^4 - u^2) \, du$

$u$ について積分します。

$\int (u^4 - u^2) \, du = \frac{u^5}{5} - \frac{u^3}{3} + C$

$u = \cos x$ を代入して、元の変数に戻します。

$\frac{u^5}{5} - \frac{u^3}{3} + C = \frac{\cos^5 x}{5} - \frac{\cos^3 x}{3} + C$

3. 最終的な答え

$\int \sin^3 x \cos^2 x \, dx = \frac{\cos^5 x}{5} - \frac{\cos^3 x}{3} + C$