与えられた曲面 $z = f(x, y)$ 上の指定された点における接平面の方程式を求める問題です。 (1) 曲面は $z = x^2 - xy + 2y^2$ で、指定された点は $(1, 2, 7)$ です。 (2) 曲面は $z = \sqrt{x^2 + y^2 + 4}$ で、指定された点は $(1, 2, 3)$ です。

## 問題の解答

1. 問題の内容

与えられた曲面 $z = f(x, y)$ 上の指定された点における接平面の方程式を求める問題です。

(1) 曲面は $z = x^2 - xy + 2y^2$ で、指定された点は $(1, 2, 7)$ です。

(2) 曲面は $z = \sqrt{x^2 + y^2 + 4}$ で、指定された点は $(1, 2, 3)$ です。

2. 解き方の手順

一般に、曲面 $z = f(x, y)$ 上の点 $(x_0, y_0, z_0)$ における接平面の方程式は次の式で与えられます。

$z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$

ここで、$f_x(x, y)$ は $f(x, y)$ の $x$ に関する偏導関数、$f_y(x, y)$ は $f(x, y)$ の $y$ に関する偏導関数です。

(1) 曲面 $z = x^2 - xy + 2y^2$ の場合

まず、偏導関数を計算します。

$f_x(x, y) = 2x - y$

$f_y(x, y) = -x + 4y$

次に、指定された点 $(1, 2, 7)$ における偏導関数の値を計算します。

$f_x(1, 2) = 2(1) - 2 = 0$

$f_y(1, 2) = -1 + 4(2) = 7$

したがって、接平面の方程式は次のようになります。

$z - 7 = 0(x - 1) + 7(y - 2)$

$z - 7 = 7y - 14$

$z = 7y - 7$

(2) 曲面 $z = \sqrt{x^2 + y^2 + 4}$ の場合

まず、偏導関数を計算します。

$f_x(x, y) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + 4}}$

$f_y(x, y) = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + 4}}$

次に、指定された点 $(1, 2, 3)$ における偏導関数の値を計算します。

$f_x(1, 2) = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 4}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$

$f_y(1, 2) = \frac{2}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 4}} = \frac{2}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$

したがって、接平面の方程式は次のようになります。

$z - 3 = \frac{1}{3}(x - 1) + \frac{2}{3}(y - 2)$

$z - 3 = \frac{1}{3}x - \frac{1}{3} + \frac{2}{3}y - \frac{4}{3}$

$z = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}y - \frac{5}{3} + 3$

$z = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}y + \frac{4}{3}$

$3z = x + 2y + 4$

3. 最終的な答え

(1) 曲面 $z = x^2 - xy + 2y^2$ 上の点 $(1, 2, 7)$ における接平面の方程式：

$z = 7y - 7$

(2) 曲面 $z = \sqrt{x^2 + y^2 + 4}$ 上の点 $(1, 2, 3)$ における接平面の方程式：

$3z = x + 2y + 4$