問題は、与えられた3つの数列が単調増加することを示し、かつ上に有界かどうかを調べることです。 (1) $\frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}$ (2) $\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2}$ (3) $1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$

1. 問題の内容

問題は、与えられた3つの数列が単調増加することを示し、かつ上に有界かどうかを調べることです。

(1) $\frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}$

(2) $\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2}$

(3) $1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$

2. 解き方の手順

(1) 数列の増加を示す。

数列の一般項を$a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$と定義する。

$a_{n+1} - a_n = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0$であるため、数列は単調増加である。

次に、数列が上に有界であることを示す。

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$が成立する。

したがって、$a_n = \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = (1-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = 1 - \frac{1}{n+1} < 1$

よって、数列は上に有界である。

(2) 数列の増加を示す。

数列の一般項を$b_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$と定義する。

$b_{n+1} - b_n = \frac{1}{(n+1)^2} > 0$であるため、数列は単調増加である。

次に、数列が上に有界であることを示す。

$\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$ (for $k > 1$) が成立する。

したがって、$b_n = 1 + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} < 1 + \sum_{k=2}^{n} (\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}) = 1 + (1 - \frac{1}{n}) < 2$

また、$b_n$は$\frac{\pi^2}{6}$に収束するため、上に有界である。

(3) 数列の増加を示す。

数列の一般項を$c_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$と定義する。

$c_{n+1} - c_n = \frac{1}{n+1} > 0$であるため、数列は単調増加である。

次に、数列が上に有界でないことを示す。

$c_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \dots$

$c_n = 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}) + \dots$

$c_n > 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}) + \dots = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots$

この数列は発散するため、上に有界ではない。

3. 最終的な答え

(1) 単調増加であり、上に有界である。

(2) 単調増加であり、上に有界である。

(3) 単調増加であるが、上に有界ではない。