与えられた積分 $\int \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{e^x + e^{-x}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{e^x + e^{-x}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分子を因数分解します。

$e^{2x} - e^{-2x}$ は差の平方の形に似ています。そこで、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を利用することを考えます。

$e^{2x} - e^{-2x} = (e^x)^2 - (e^{-x})^2 = (e^x + e^{-x})(e^x - e^{-x})$

すると、積分は次のようになります。

$\int \frac{(e^x + e^{-x})(e^x - e^{-x})}{e^x + e^{-x}} dx$

被積分関数を簡約化すると、

$\int (e^x - e^{-x}) dx$

積分を計算します。

$\int e^x dx - \int e^{-x} dx = e^x - (-e^{-x}) + C = e^x + e^{-x} + C$

3. 最終的な答え

$e^x + e^{-x} + C$