$\int 2x \log(x^2+1) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int 2x \log(x^2+1) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて解きます。

部分積分の公式は次の通りです。

$\int u dv = uv - \int v du$

$u = \log(x^2 + 1)$ と $dv = 2x dx$ とします。

すると、

$du = \frac{2x}{x^2 + 1} dx$

$v = \int 2x dx = x^2$

部分積分の公式に当てはめると、

$\int 2x \log(x^2+1) dx = x^2 \log(x^2+1) - \int x^2 \frac{2x}{x^2+1} dx$

$= x^2 \log(x^2+1) - \int \frac{2x^3}{x^2+1} dx$

ここで、$\int \frac{2x^3}{x^2+1} dx$ を計算します。

$\frac{2x^3}{x^2+1} = \frac{2x^3 + 2x - 2x}{x^2+1} = \frac{2x(x^2+1) - 2x}{x^2+1} = 2x - \frac{2x}{x^2+1}$

したがって、

$\int \frac{2x^3}{x^2+1} dx = \int (2x - \frac{2x}{x^2+1}) dx = \int 2x dx - \int \frac{2x}{x^2+1} dx = x^2 - \log(x^2+1)$

元の式に戻ると、

$\int 2x \log(x^2+1) dx = x^2 \log(x^2+1) - (x^2 - \log(x^2+1)) + C$

$= x^2 \log(x^2+1) - x^2 + \log(x^2+1) + C$

$= (x^2+1) \log(x^2+1) - x^2 + C$

3. 最終的な答え

$(x^2+1) \log(x^2+1) - x^2 + C$