与えられた積分を計算します。 $\int \frac{e^{2x}}{(e^x+1)^2} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$\int \frac{e^{2x}}{(e^x+1)^2} dx$

2. 解き方の手順

まず、$u = e^x + 1$ と置換します。すると、$du = e^x dx$ となります。

また、$e^x = u - 1$ であるから、$e^{2x} = (e^x)^2 = (u-1)^2$ となります。

したがって、積分は以下のように書き換えられます。

$\int \frac{e^{2x}}{(e^x+1)^2} dx = \int \frac{(e^x)^2}{(e^x+1)^2} dx = \int \frac{(u-1)^2}{u^2} \frac{du}{e^x} = \int \frac{(u-1)^2}{u^2} \frac{du}{u-1} = \int \frac{u-1}{u^2} du$

次に、積分を分解します。

$\int \frac{u-1}{u^2} du = \int (\frac{u}{u^2} - \frac{1}{u^2}) du = \int (\frac{1}{u} - \frac{1}{u^2}) du = \int \frac{1}{u} du - \int \frac{1}{u^2} du$

それぞれの積分を計算します。

$\int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C_1$

$\int \frac{1}{u^2} du = \int u^{-2} du = \frac{u^{-1}}{-1} + C_2 = -\frac{1}{u} + C_2$

したがって、

$\int (\frac{1}{u} - \frac{1}{u^2}) du = \ln |u| - (-\frac{1}{u}) + C = \ln |u| + \frac{1}{u} + C$

最後に、$u = e^x + 1$ を代入します。

$\ln |e^x + 1| + \frac{1}{e^x + 1} + C = \ln (e^x + 1) + \frac{1}{e^x + 1} + C$ (なぜなら $e^x + 1 > 0$ であるから)

3. 最終的な答え

$\ln(e^x+1) + \frac{1}{e^x+1} + C$