不定積分 $\int 2x \log(x^2+1) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

不定積分 $\int 2x \log(x^2+1) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて解きます。

$u = \log(x^2+1)$ と $dv = 2x dx$ とおきます。すると、

$du = \frac{2x}{x^2+1} dx$ と $v = \int 2x dx = x^2$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$\int 2x \log(x^2+1) dx = x^2 \log(x^2+1) - \int x^2 \cdot \frac{2x}{x^2+1} dx$

$= x^2 \log(x^2+1) - \int \frac{2x^3}{x^2+1} dx$

ここで、$\int \frac{2x^3}{x^2+1} dx$ を計算します。被積分関数を以下のように変形します。

$\frac{2x^3}{x^2+1} = \frac{2x^3+2x-2x}{x^2+1} = \frac{2x(x^2+1) - 2x}{x^2+1} = 2x - \frac{2x}{x^2+1}$

したがって、

$\int \frac{2x^3}{x^2+1} dx = \int (2x - \frac{2x}{x^2+1}) dx = \int 2x dx - \int \frac{2x}{x^2+1} dx = x^2 - \log(x^2+1) + C$

よって、

$\int 2x \log(x^2+1) dx = x^2 \log(x^2+1) - (x^2 - \log(x^2+1)) + C$

$= x^2 \log(x^2+1) - x^2 + \log(x^2+1) + C$

$= (x^2+1) \log(x^2+1) - x^2 + C$

3. 最終的な答え

$(x^2+1)\log(x^2+1) - x^2 + C$