(1) 次の関数を微分せよ。 (a) $4x^2 + \sqrt{x}$ (b) $\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt[6]{x^5}}$ (c) $\frac{\sin x}{x}$ (2) 次を計算せよ。 (a) $\int \frac{\sqrt[4]{x}}{x} dx$ (b) $\int e^{3x+5} dx$ (c) $\int_1^2 \frac{1+5x^4}{x+x^5} dx$ (3) 関数 $f(x) = \arctan(3x-2)$ に対して、 (a) $f'(x)$ を求めよ。 (b) $f(x)$ の $x=1$ における接線を求めよ。 (4) 関数 $f(x) = \log(1+3x) - x$ に対して、 (a) $f'(x)$ と $f''(x)$ を求めよ。 (b) $f(x)$ の極値を求めよ。

はい、承知しました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 次の関数を微分せよ。

(a) $4x^2 + \sqrt{x}$

(b) $\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt[6]{x^5}}$

(c) $\frac{\sin x}{x}$

(2) 次を計算せよ。

(a) $\int \frac{\sqrt[4]{x}}{x} dx$

(b) $\int e^{3x+5} dx$

(c) $\int_1^2 \frac{1+5x^4}{x+x^5} dx$

(3) 関数 $f(x) = \arctan(3x-2)$ に対して、

(a) $f'(x)$ を求めよ。

(b) $f(x)$ の $x=1$ における接線を求めよ。

(4) 関数 $f(x) = \log(1+3x) - x$ に対して、

(a) $f'(x)$ と $f''(x)$ を求めよ。

(b) $f(x)$ の極値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 微分

(a) $y = 4x^2 + \sqrt{x} = 4x^2 + x^{\frac{1}{2}}$

$\frac{dy}{dx} = 8x + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = 8x + \frac{1}{2\sqrt{x}}$

(b) $y = \frac{x\sqrt{x}}{\sqrt[6]{x^5}} = \frac{x^{1+\frac{1}{2}}}{x^{\frac{5}{6}}} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{5}{6}}} = x^{\frac{3}{2}-\frac{5}{6}} = x^{\frac{9-5}{6}} = x^{\frac{4}{6}} = x^{\frac{2}{3}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$

(c) $y = \frac{\sin x}{x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$

(2) 積分

(a) $\int \frac{\sqrt[4]{x}}{x} dx = \int \frac{x^{\frac{1}{4}}}{x} dx = \int x^{\frac{1}{4}-1} dx = \int x^{-\frac{3}{4}} dx = \frac{x^{\frac{1}{4}}}{\frac{1}{4}} + C = 4\sqrt[4]{x} + C$

(b) $\int e^{3x+5} dx = \frac{1}{3}e^{3x+5} + C$

(c) $\int_1^2 \frac{1+5x^4}{x+x^5} dx = \int_1^2 \frac{1+5x^4}{x(1+x^4)} dx$

$u = x^4+1$ と置くと、$du = 4x^3 dx$. これはうまくいかない。

$y = \log(x^5+x)$

$y' = \frac{5x^4+1}{x^5+x}$

$\int_1^2 \frac{1+5x^4}{x+x^5} dx = \int_1^2 \frac{1+5x^4}{x(1+x^4)} dx = [\log(x^5+x)]_1^2 = \log(2^5+2) - \log(1^5+1) = \log(34) - \log(2) = \log(\frac{34}{2}) = \log(17)$

(3)

(a) $f(x) = \arctan(3x-2)$

$f'(x) = \frac{3}{1+(3x-2)^2} = \frac{3}{1+9x^2-12x+4} = \frac{3}{9x^2-12x+5}$

(b) $f(1) = \arctan(3(1)-2) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$

$f'(1) = \frac{3}{9(1)^2-12(1)+5} = \frac{3}{9-12+5} = \frac{3}{2}$

接線の方程式は $y = f'(1)(x-1) + f(1) = \frac{3}{2}(x-1) + \frac{\pi}{4}$

(4)

(a) $f(x) = \log(1+3x)-x$

$f'(x) = \frac{3}{1+3x} - 1 = \frac{3-(1+3x)}{1+3x} = \frac{2-3x}{1+3x}$

$f''(x) = \frac{-3(1+3x) - (2-3x)(3)}{(1+3x)^2} = \frac{-3-9x-6+9x}{(1+3x)^2} = \frac{-9}{(1+3x)^2}$

(b) $f'(x) = 0$ となるのは $2-3x = 0$ のときなので、$x = \frac{2}{3}$

$f''(x)$ は常に負なので、$x = \frac{2}{3}$ で極大値をとる。

$f(\frac{2}{3}) = \log(1+3(\frac{2}{3})) - \frac{2}{3} = \log(3) - \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1)

(a) $8x + \frac{1}{2\sqrt{x}}$

(b) $\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$

(c) $\frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$

(2)

(a) $4\sqrt[4]{x} + C$

(b) $\frac{1}{3}e^{3x+5} + C$

(c) $\log(17)$

(3)

(a) $\frac{3}{9x^2-12x+5}$

(b) $y = \frac{3}{2}(x-1) + \frac{\pi}{4}$

(4)

(a) $f'(x) = \frac{2-3x}{1+3x}$, $f''(x) = \frac{-9}{(1+3x)^2}$

(b) $x=\frac{2}{3}$ で極大値 $\log(3) - \frac{2}{3}$