問題は、実数 $a$ を定数として、方程式 $ae^x + 3x = 0$ の異なる実数解の個数を調べることです。ただし、$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0$ は既知とします。そして、この方程式の解は、$a = -\frac{3x}{e^x}$ の解であり、$y = a$ と $y = -\frac{3x}{e^x}$ のグラフの共有点の $x$ 座標である。ここで、$f(x) = -\frac{3x}{e^x}$ とおき、$y = f(x)$ のグラフの概形を、選択肢の中から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

問題は、実数 $a$ を定数として、方程式 $ae^x + 3x = 0$ の異なる実数解の個数を調べることです。ただし、$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0$ は既知とします。そして、この方程式の解は、$a = -\frac{3x}{e^x}$ の解であり、$y = a$ と $y = -\frac{3x}{e^x}$ のグラフの共有点の $x$ 座標である。ここで、$f(x) = -\frac{3x}{e^x}$ とおき、$y = f(x)$ のグラフの概形を、選択肢の中から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式 $ae^x + 3x = 0$ を変形して、$a = -\frac{3x}{e^x}$ とします。

$f(x) = -\frac{3x}{e^x}$ とおくと、$y = a$ と $y = f(x)$ のグラフの共有点の個数が、方程式の実数解の個数と一致します。

$f(x)$ のグラフの概形を調べるために、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$$f'(x) = -\frac{3e^x - 3xe^x}{(e^x)^2} = -\frac{3(1 - x)e^x}{e^{2x}} = -\frac{3(1 - x)}{e^x}$$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は $x = 1$ です。

$x < 1$ のとき、$f'(x) > 0$ であり、$x > 1$ のとき、$f'(x) < 0$ です。

したがって、$x = 1$ で $f(x)$ は極大値をとり、その値は $f(1) = -\frac{3}{e}$ です。

また、$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} -\frac{3x}{e^x} = 0$ (∵$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0$より)

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} -\frac{3x}{e^x} = \infty$ です。

$f(0) = 0$ であることもわかります。

以上の情報から、$y = f(x)$ のグラフの概形は、選択肢の②のようになります。

3. 最終的な答え

グラフの概形は②