$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $y = \sin 2\theta - \cos 2\theta$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $y = \sin 2\theta - \cos 2\theta$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sin 2\theta - \cos 2\theta$ を三角関数の合成を使って変形します。

$y = \sqrt{2} \sin(2\theta - \frac{\pi}{4})$

次に、$\theta$ の範囲が $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ であることから、$2\theta$ の範囲は $0 \leq 2\theta \leq \pi$ となります。

したがって、$2\theta - \frac{\pi}{4}$ の範囲は $-\frac{\pi}{4} \leq 2\theta - \frac{\pi}{4} \leq \frac{3\pi}{4}$ となります。

この範囲で $\sin(2\theta - \frac{\pi}{4})$ の最大値と最小値を考えます。

$\sin(2\theta - \frac{\pi}{4})$ の最大値は $2\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ のとき、つまり $2\theta = \frac{3\pi}{4}$ のときで、値は1です。

$\sin(2\theta - \frac{\pi}{4})$ の最小値は $2\theta - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$ のとき、つまり $2\theta = 0$ のときで、値は $-\frac{1}{\sqrt{2}}$です。

$y$ の最大値は $\sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$ となり、このとき $2\theta = \frac{3\pi}{4}$ より $\theta = \frac{3\pi}{8}$ です。

$y$ の最小値は $\sqrt{2} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -1$ となり、このとき $2\theta = 0$ より $\theta = 0$ です。

3. 最終的な答え

最大値：$\sqrt{2}$ ($\theta = \frac{3\pi}{8}$ のとき)

最小値：$-1$ ($\theta = 0$ のとき)