$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $y = \sin{2\theta} - \cos{2\theta}$ の最大値と最小値を求め、そのときの$\theta$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $y = \sin{2\theta} - \cos{2\theta}$ の最大値と最小値を求め、そのときの$\theta$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y = \sin{2\theta} - \cos{2\theta}$ を合成します。

$y = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin{2\theta} - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos{2\theta}\right)$

$y = \sqrt{2}\left(\cos{\frac{\pi}{4}}\sin{2\theta} - \sin{\frac{\pi}{4}}\cos{2\theta}\right)$

$y = \sqrt{2}\sin\left(2\theta - \frac{\pi}{4}\right)$

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より、$0 \le 2\theta \le \pi$

$-\frac{\pi}{4} \le 2\theta - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4}$

したがって、

$2\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$のとき、最大値$\sqrt{2}$をとる。

$2\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

$\theta = \frac{3\pi}{8}$

$2\theta - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$のとき、最小値$-\sqrt{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = -1$をとる。

$2\theta = 0$

$\theta = 0$

3. 最終的な答え

最大値: $\sqrt{2}$ ($\theta = \frac{3\pi}{8}$のとき)

最小値: $-1$ ($\theta = 0$のとき)