$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $y = \sin 2\theta - \cos 2\theta$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $y = \sin 2\theta - \cos 2\theta$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を三角関数の合成を用いて変形する。

$y = \sin 2\theta - \cos 2\theta = \sqrt{2} \sin(2\theta - \frac{\pi}{4})$

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より、

$0 \le 2\theta \le \pi$

$-\frac{\pi}{4} \le 2\theta - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4}$

$\sin$ のグラフを考えると、

$2\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ のとき最大値 $\sqrt{2}$ をとる。

$2\theta = \frac{3\pi}{4}$

$\theta = \frac{3\pi}{8}$

$2\theta - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$ のとき最小値 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$をとる。

$2\theta = 0$

$\theta = 0$

3. 最終的な答え

最大値：$\sqrt{2}$ $(\theta = \frac{3\pi}{8})$

最小値：$-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $(\theta = 0)$