## 微分方程式の問題

## 微分方程式の問題

与えられた微分方程式を解きます。

(1) $y' + y = e^{3x}$

(2) $xy' - 4y = x^6e^x$

(3) $y' - \frac{3}{x}y = 4x^6$

(4) $y' + \frac{y}{x+1} = \frac{1}{x^2-1}$

## 解き方の手順

**問題(1): $y' + y = e^{3x}$**

1. **積分因子を求める:** 積分因子 $\mu(x)$ は $e^{\int 1 dx} = e^x$ で求められます。

2. **両辺に積分因子を掛ける:** $e^xy' + e^xy = e^{4x}$

3. **左辺をまとめる:** $\frac{d}{dx}(e^xy) = e^{4x}$

4. **両辺を積分する:** $\int \frac{d}{dx}(e^xy) dx = \int e^{4x} dx$

$e^xy = \frac{1}{4}e^{4x} + C$

5. **yについて解く:** $y = \frac{1}{4}e^{3x} + Ce^{-x}$

**問題(2): $xy' - 4y = x^6e^x$**

1. **標準形にする:** $y' - \frac{4}{x}y = x^5e^x$

2. **積分因子を求める:** 積分因子 $\mu(x)$ は $e^{\int -\frac{4}{x} dx} = e^{-4\ln|x|} = x^{-4}$ で求められます。

3. **両辺に積分因子を掛ける:** $x^{-4}y' - 4x^{-5}y = xe^x$

4. **左辺をまとめる:** $\frac{d}{dx}(x^{-4}y) = xe^x$

5. **両辺を積分する:** $\int \frac{d}{dx}(x^{-4}y) dx = \int xe^x dx$

$x^{-4}y = \int xe^x dx$

部分積分を用いて $\int xe^x dx = xe^x - e^x + C$

6. **yについて解く:** $y = x^4(xe^x - e^x + C) = x^5e^x - x^4e^x + Cx^4$

**問題(3): $y' - \frac{3}{x}y = 4x^6$**

1. **積分因子を求める:** 積分因子 $\mu(x)$ は $e^{\int -\frac{3}{x} dx} = e^{-3\ln|x|} = x^{-3}$ で求められます。

2. **両辺に積分因子を掛ける:** $x^{-3}y' - 3x^{-4}y = 4x^3$

3. **左辺をまとめる:** $\frac{d}{dx}(x^{-3}y) = 4x^3$

4. **両辺を積分する:** $\int \frac{d}{dx}(x^{-3}y) dx = \int 4x^3 dx$

$x^{-3}y = x^4 + C$

5. **yについて解く:** $y = x^7 + Cx^3$

**問題(4): $y' + \frac{y}{x+1} = \frac{1}{x^2-1}$**

1. **積分因子を求める:** 積分因子 $\mu(x)$ は $e^{\int \frac{1}{x+1} dx} = e^{\ln|x+1|} = x+1$ で求められます。

2. **両辺に積分因子を掛ける:** $(x+1)y' + y = \frac{1}{x-1}$

3. **左辺をまとめる:** $\frac{d}{dx}((x+1)y) = \frac{1}{x-1}$

4. **両辺を積分する:** $\int \frac{d}{dx}((x+1)y) dx = \int \frac{1}{x-1} dx$

$(x+1)y = \ln|x-1| + C$

5. **yについて解く:** $y = \frac{\ln|x-1| + C}{x+1}$

## 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{4}e^{3x} + Ce^{-x}$

(2) $y = x^5e^x - x^4e^x + Cx^4$

(3) $y = x^7 + Cx^3$

(4) $y = \frac{\ln|x-1| + C}{x+1}$