平面 $x=0$, $x=1$, $y=0$, $y=1$, $z=0$, $z=1$ で囲まれる立体を $V$ とする。その表面で、$xy$ 平面上にない部分を $A$ とする。ベクトル場 $\mathbf{a} = (2xy, yz^2, zx)$ について、面積分 $\int_A (\nabla \times \mathbf{a}) \cdot \mathbf{n} \, dS$ の値を求めよ。ただし、$\mathbf{n}$ は $A$ の法単位ベクトルで $A$ の外側に向いているものとする。

1. 問題の内容

平面 $x=0$, $x=1$, $y=0$, $y=1$, $z=0$, $z=1$ で囲まれる立体を $V$ とする。その表面で、$xy$ 平面上にない部分を $A$ とする。ベクトル場 $\mathbf{a} = (2xy, yz^2, zx)$ について、面積分 $\int_A (\nabla \times \mathbf{a}) \cdot \mathbf{n} \, dS$ の値を求めよ。ただし、$\mathbf{n}$ は $A$ の法単位ベクトルで $A$ の外側に向いているものとする。

2. 解き方の手順

ストークスの定理を用いる。ストークスの定理より、

$$\int_A (\nabla \times \mathbf{a}) \cdot \mathbf{n} \, dS = \oint_C \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r}$$

ここで、$C$ は $A$ の境界であり、積分方向は $A$ の外側から見て反時計回りである。$A$ は $V$ の表面のうち、$xy$ 平面上にない部分であるから、$A$ の境界 $C$ は $z=0$ の平面上にある正方形である。

$C$ は $x=0, 0 \le y \le 1$, $y=1, 0 \le x \le 1$, $x=1, 1 \ge y \ge 0$, $y=0, 1 \ge x \ge 0$ で定義される。

(1) $x=0, 0 \le y \le 1$のとき、$\mathbf{a} = (0, 0, 0)$, $d\mathbf{r} = (0, dy, 0)$であるから、$\mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = 0$。よって、$\int_{C_1} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = 0$。

(2) $y=1, 0 \le x \le 1$のとき、$\mathbf{a} = (2x, z^2, zx)$, $d\mathbf{r} = (dx, 0, 0)$であるから、$\mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = 2x \, dx$。$z=0$であるから、$\int_{C_2} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^1 2x \, dx = [x^2]_0^1 = 1$。

(3) $x=1, 1 \ge y \ge 0$のとき、$\mathbf{a} = (2y, yz^2, z)$, $d\mathbf{r} = (0, dy, 0)$であるから、$\mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = yz^2 \, dy$。$z=0$であるから、$\int_{C_3} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = \int_1^0 0 \, dy = 0$。

(4) $y=0, 1 \ge x \ge 0$のとき、$\mathbf{a} = (0, 0, zx)$, $d\mathbf{r} = (dx, 0, 0)$であるから、$\mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = 0$。よって、$\int_{C_4} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = 0$。

したがって、

$$\oint_C \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = \int_{C_1} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} + \int_{C_2} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} + \int_{C_3} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} + \int_{C_4} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = 0 + 1 + 0 + 0 = 1$$

3. 最終的な答え

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