立方体$V$を平面 $x=0, x=1, y=0, y=1, z=0, z=1$ で囲む。$V$の表面のうち、$xy$平面上ではない部分を$A$とする。ベクトル場 $\vec{a} = (2xy, yz^2, zx)$ について、面積分 $\int_{A} (\nabla \times \vec{a}) \cdot \vec{n} dS$ の値を求める。ただし、$\vec{n}$ は $A$ の法単位ベクトルで、$A$ の外側に向いているものとする。

1. 問題の内容

立方体$V$を平面 $x=0, x=1, y=0, y=1, z=0, z=1$ で囲む。$V$の表面のうち、$xy$平面上ではない部分を$A$とする。ベクトル場 $\vec{a} = (2xy, yz^2, zx)$ について、面積分 $\int_{A} (\nabla \times \vec{a}) \cdot \vec{n} dS$ の値を求める。ただし、$\vec{n}$ は $A$ の法単位ベクトルで、$A$ の外側に向いているものとする。

2. 解き方の手順

ストークスの定理を用いる。ストークスの定理より、

$\int_{A} (\nabla \times \vec{a}) \cdot \vec{n} dS = \oint_{C} \vec{a} \cdot d\vec{r}$

ここで、$C$ は $A$ の境界であり、$xy$ 平面上にある。$A$ は $V$ の表面のうち、$xy$ 平面上ではない部分であるから、$A$ の境界 $C$ は正方形 $x=0, x=1, y=0, y=1$ である。

$C$ は四つの線分 $C_1, C_2, C_3, C_4$ に分割できる。

$C_1$: $(x,0,0)$, $0 \leq x \leq 1$, $d\vec{r} = (dx, 0, 0)$

$C_2$: $(1,y,0)$, $0 \leq y \leq 1$, $d\vec{r} = (0, dy, 0)$

$C_3$: $(x,1,0)$, $1 \geq x \geq 0$, $d\vec{r} = (dx, 0, 0)$

$C_4$: $(0,y,0)$, $1 \geq y \geq 0$, $d\vec{r} = (0, dy, 0)$

$\vec{a} = (2xy, yz^2, zx)$ なので、

$\oint_{C} \vec{a} \cdot d\vec{r} = \int_{C_1} \vec{a} \cdot d\vec{r} + \int_{C_2} \vec{a} \cdot d\vec{r} + \int_{C_3} \vec{a} \cdot d\vec{r} + \int_{C_4} \vec{a} \cdot d\vec{r}$

$\int_{C_1} \vec{a} \cdot d\vec{r} = \int_{0}^{1} (2x(0), (0)(0)^2, (0)x) \cdot (dx, 0, 0) = \int_{0}^{1} 0 \, dx = 0$

$\int_{C_2} \vec{a} \cdot d\vec{r} = \int_{0}^{1} (2(1)y, y(0)^2, (0)(1)) \cdot (0, dy, 0) = \int_{0}^{1} 0 \, dy = 0$

$\int_{C_3} \vec{a} \cdot d\vec{r} = \int_{1}^{0} (2x(1), (1)(0)^2, (0)x) \cdot (dx, 0, 0) = \int_{1}^{0} 2x \, dx = [x^2]_1^0 = 0 - 1 = -1$

$\int_{C_4} \vec{a} \cdot d\vec{r} = \int_{1}^{0} (2(0)y, y(0)^2, (0)(0)) \cdot (0, dy, 0) = \int_{1}^{0} 0 \, dy = 0$

$\oint_{C} \vec{a} \cdot d\vec{r} = 0 + 0 - 1 + 0 = -1$

3. 最終的な答え

$\int_{A} (\nabla \times \vec{a}) \cdot \vec{n} dS = -1$