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はい、承知しました。画像に写っている問題は、与えられた関数に対して2階偏導関数を求める問題です。具体的には、以下の4つの関数について、それぞれの2階偏導関数を計算します。

解析学偏微分多変数関数2階偏導関数
2025/7/28
はい、承知しました。画像に写っている問題は、与えられた関数に対して2階偏導関数を求める問題です。具体的には、以下の4つの関数について、それぞれの2階偏導関数を計算します。
(1) z=exyz = e^{xy}
(2) z=log⁡x2+y2z = \log{\sqrt{x^2 + y^2}}
(3) z=sin⁡xcos⁡2yz = \sin{x}\cos^2{y}
(4) z=tan⁡−1xyz = \tan^{-1}{\frac{x}{y}}
以下に、それぞれの場合について、2階偏導関数を計算します。
**

1. 問題の内容**

与えられた各関数 zz に対して、以下の4つの2階偏導関数を求める。
∂2z∂x2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, ∂2z∂y2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}, ∂2z∂x∂y\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}, ∂2z∂y∂x\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}
**

2. 解き方の手順**

**(1) z=exyz = e^{xy}**
* ∂z∂x=yexy\frac{\partial z}{\partial x} = y e^{xy}
* ∂z∂y=xexy\frac{\partial z}{\partial y} = x e^{xy}
* ∂2z∂x2=y2exy\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = y^2 e^{xy}
* ∂2z∂y2=x2exy\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = x^2 e^{xy}
* ∂2z∂x∂y=∂∂x(xexy)=exy+xyexy\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (x e^{xy}) = e^{xy} + xye^{xy}
* ∂2z∂y∂x=∂∂y(yexy)=exy+xyexy\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (y e^{xy}) = e^{xy} + xye^{xy}
**(2) z=log⁡x2+y2=12log⁡(x2+y2)z = \log{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{1}{2} \log{(x^2 + y^2)}**
* ∂z∂x=12⋅2xx2+y2=xx2+y2\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2}
* ∂z∂y=12⋅2yx2+y2=yx2+y2\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2y}{x^2 + y^2} = \frac{y}{x^2 + y^2}
* ∂2z∂x2=(x2+y2)−x(2x)(x2+y2)2=y2−x2(x2+y2)2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{(x^2+y^2) - x(2x)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}
* ∂2z∂y2=(x2+y2)−y(2y)(x2+y2)2=x2−y2(x2+y2)2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{(x^2+y^2) - y(2y)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2}
* ∂2z∂x∂y=∂∂x(yx2+y2)=−y(2x)(x2+y2)2=−2xy(x2+y2)2\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{y}{x^2+y^2}) = \frac{-y(2x)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}
* ∂2z∂y∂x=∂∂y(xx2+y2)=−x(2y)(x2+y2)2=−2xy(x2+y2)2\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{x}{x^2+y^2}) = \frac{-x(2y)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}
**(3) z=sin⁡xcos⁡2yz = \sin{x}\cos^2{y}**
* ∂z∂x=cos⁡xcos⁡2y\frac{\partial z}{\partial x} = \cos{x}\cos^2{y}
* ∂z∂y=sin⁡x⋅2cos⁡y(−sin⁡y)=−2sin⁡xcos⁡ysin⁡y=−sin⁡xsin⁡2y\frac{\partial z}{\partial y} = \sin{x} \cdot 2 \cos{y} (-\sin{y}) = -2\sin{x} \cos{y} \sin{y} = -\sin{x}\sin{2y}
* ∂2z∂x2=−sin⁡xcos⁡2y\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\sin{x}\cos^2{y}
* ∂2z∂y2=sin⁡x(−2cos⁡2y)\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \sin{x}(-2\cos{2y})
* ∂2z∂x∂y=∂∂x(−sin⁡xsin⁡2y)=−cos⁡xsin⁡2y\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (-\sin{x} \sin{2y}) = -\cos{x} \sin{2y}
* ∂2z∂y∂x=∂∂y(cos⁡xcos⁡2y)=cos⁡x2cos⁡y(−sin⁡y)=−cos⁡xsin⁡2y\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (\cos{x} \cos^2{y}) = \cos{x} 2\cos{y}(-\sin{y}) = -\cos{x}\sin{2y}
**(4) z=tan⁡−1xyz = \tan^{-1}{\frac{x}{y}}**
* ∂z∂x=11+(xy)2⋅1y=yy2+x2\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{1+(\frac{x}{y})^2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y}{y^2 + x^2}
* ∂z∂y=11+(xy)2⋅(−xy2)=−xy2+x2\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{1+(\frac{x}{y})^2} \cdot (-\frac{x}{y^2}) = \frac{-x}{y^2 + x^2}
* ∂2z∂x2=−y(2x)(y2+x2)2=−2xy(y2+x2)2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{-y(2x)}{(y^2+x^2)^2} = \frac{-2xy}{(y^2+x^2)^2}
* ∂2z∂y2=−(−x)(2y)(y2+x2)2=2xy(y2+x2)2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{-(-x)(2y)}{(y^2+x^2)^2} = \frac{2xy}{(y^2+x^2)^2}
* ∂2z∂x∂y=∂∂x(−xy2+x2)=−(y2+x2)−(−x)(2x)(y2+x2)2=x2−y2(y2+x2)2\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{-x}{y^2+x^2}) = \frac{-(y^2+x^2)-(-x)(2x)}{(y^2+x^2)^2} = \frac{x^2-y^2}{(y^2+x^2)^2}
* ∂2z∂y∂x=∂∂y(yy2+x2)=(y2+x2)−y(2y)(y2+x2)2=x2−y2(y2+x2)2\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{y}{y^2+x^2}) = \frac{(y^2+x^2)-y(2y)}{(y^2+x^2)^2} = \frac{x^2-y^2}{(y^2+x^2)^2}
**

3. 最終的な答え**

**(1) z=exyz = e^{xy}**
* ∂2z∂x2=y2exy\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = y^2 e^{xy}
* ∂2z∂y2=x2exy\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = x^2 e^{xy}
* ∂2z∂x∂y=exy+xyexy\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = e^{xy} + xye^{xy}
* ∂2z∂y∂x=exy+xyexy\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = e^{xy} + xye^{xy}
**(2) z=log⁡x2+y2=12log⁡(x2+y2)z = \log{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{1}{2} \log{(x^2 + y^2)}**
* ∂2z∂x2=y2−x2(x2+y2)2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}
* ∂2z∂y2=x2−y2(x2+y2)2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2}
* ∂2z∂x∂y=−2xy(x2+y2)2\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}
* ∂2z∂y∂x=−2xy(x2+y2)2\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}
**(3) z=sin⁡xcos⁡2yz = \sin{x}\cos^2{y}**
* ∂2z∂x2=−sin⁡xcos⁡2y\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\sin{x}\cos^2{y}
* ∂2z∂y2=−2sin⁡xcos⁡2y\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -2\sin{x} \cos{2y}
* ∂2z∂x∂y=−cos⁡xsin⁡2y\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\cos{x} \sin{2y}
* ∂2z∂y∂x=−cos⁡xsin⁡2y\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = -\cos{x} \sin{2y}
**(4) z=tan⁡−1xyz = \tan^{-1}{\frac{x}{y}}**
* ∂2z∂x2=−2xy(y2+x2)2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{-2xy}{(y^2+x^2)^2}
* ∂2z∂y2=2xy(y2+x2)2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{2xy}{(y^2+x^2)^2}
* ∂2z∂x∂y=x2−y2(y2+x2)2\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{x^2-y^2}{(y^2+x^2)^2}
* ∂2z∂y∂x=x2−y2(y2+x2)2\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{x^2-y^2}{(y^2+x^2)^2}

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