与えられた積分を計算し、その結果を用いて関数 $f(x)$ をフーリエ正弦級数で表す問題です。積分は $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x \sin(nx) dx$ であり、$f(x)$ は $f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{k+1}}{(2k-1)^2 \pi} \sin((2k-1)x) + \frac{(-1)^{k+1}}{2k} \sin(2kx)$ で与えられています。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算し、その結果を用いて関数 $f(x)$ をフーリエ正弦級数で表す問題です。積分は $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x \sin(nx) dx$ であり、$f(x)$ は $f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{k+1}}{(2k-1)^2 \pi} \sin((2k-1)x) + \frac{(-1)^{k+1}}{2k} \sin(2kx)$ で与えられています。

2. 解き方の手順

まず、$b_n$ を計算するために、与えられた積分を評価します。

ステップ1: 積分を計算するために、部分積分を使用します。$\int x \sin(nx) dx$ の形であるため、$u=x$、$dv = \sin(nx)dx$ とおきます。

したがって、$du = dx$、$v = -\frac{1}{n} \cos(nx)$ となります。

ステップ2: 部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を適用します。

$\int x \sin(nx) dx = -\frac{x}{n} \cos(nx) - \int -\frac{1}{n} \cos(nx) dx = -\frac{x}{n} \cos(nx) + \frac{1}{n} \int \cos(nx) dx = -\frac{x}{n} \cos(nx) + \frac{1}{n^2} \sin(nx)$

ステップ3: 定積分を計算します。

$\pi b_n = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x \sin(nx) dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin(nx) dx = 2 \left[ -\frac{x}{n} \cos(nx) + \frac{1}{n^2} \sin(nx) \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$

$\pi b_n = 2 \left[ -\frac{\pi}{2n} \cos(\frac{n\pi}{2}) + \frac{1}{n^2} \sin(\frac{n\pi}{2}) \right]$

$\pi b_n = -\frac{\pi}{n} \cos(\frac{n\pi}{2}) + \frac{2}{n^2} \sin(\frac{n\pi}{2})$

ステップ4: $n$ が偶数と奇数の場合を分けて考えます。

もし $n = 2k-1$ のとき $\cos((2k-1)\frac{\pi}{2}) = 0$ と $\sin((2k-1)\frac{\pi}{2}) = (-1)^{k-1}$ なので、

$\pi b_n = \frac{2}{(2k-1)^2} (-1)^{k-1}$

$b_n = \frac{2}{\pi(2k-1)^2} (-1)^{k-1} = \frac{2}{\pi(2k-1)^2} (-1)^{k+1}$

もし $n = 2k$ のとき $\cos(k\pi) = (-1)^{k}$ と $\sin(k\pi) = 0$ なので、

$\pi b_n = -\frac{\pi}{2k} (-1)^k$

$b_n = -\frac{(-1)^k}{2k} = \frac{(-1)^{k+1}}{2k}$

ステップ5: $f(x)$を書き下します。

$f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} b_n \sin(nx) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{k+1}}{\pi (2k-1)^2} \sin((2k-1)x) + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{2k} \sin(2kx)$

$f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{k+1}}{\pi (2k-1)^2} \sin((2k-1)x) + \frac{(-1)^{k+1}}{2k} \sin(2kx)$

3. 最終的な答え

$f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{k+1}}{\pi (2k-1)^2} \sin((2k-1)x) + \frac{(-1)^{k+1}}{2k} \sin(2kx)$