$0 \le x \le \pi$ のとき、関数 $y = \sqrt{3} \cos x + \sin x$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le x \le \pi$ のとき、関数 $y = \sqrt{3} \cos x + \sin x$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数を変形して、最大値と最小値を求めます。

ステップ1: 三角関数の合成を行います。

$y = \sqrt{3} \cos x + \sin x = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x)$

$y = 2(\cos \frac{\pi}{6} \cos x + \sin \frac{\pi}{6} \sin x)$

$y = 2 \cos(x - \frac{\pi}{6})$

ステップ2: $x$ の範囲から $x - \frac{\pi}{6}$ の範囲を求めます。

$0 \le x \le \pi$ より、

$-\frac{\pi}{6} \le x - \frac{\pi}{6} \le \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

ステップ3: $y = 2 \cos(x - \frac{\pi}{6})$ の最大値と最小値を求めます。

$-\frac{\pi}{6} \le x - \frac{\pi}{6} \le \frac{5\pi}{6}$ において、

$\cos(x - \frac{\pi}{6})$ の最大値は $x - \frac{\pi}{6} = 0$ のとき $1$ となり、このとき $y = 2 \times 1 = 2$

$\cos(x - \frac{\pi}{6})$ の最小値は $x - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ のとき $\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となり、このとき $y = 2 \times (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3}$

ただし、$x - \frac{\pi}{6} = \pi$のときに$\cos(x - \frac{\pi}{6}) = -1$となるが、このときの$x$の値は範囲外になるため、考慮しない。

$x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$のとき $\cos(x - \frac{\pi}{6}) = 0$となり、$y = 0$

$x - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$のとき $\cos(x - \frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$となり、$y = -\sqrt{3}$

$x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$のとき $\cos(x - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$となり、$y = \sqrt{3}$

よって、最大値は $2$、最小値は $-\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

最大値：2

最小値：$-\sqrt{3}$