関数 $f(x) = \frac{\sin x}{\sqrt{2x^5 - x^6}}$ と $g(x) = \frac{x^3}{(3x^4 + 1)(2x^2 + 3)}$ が与えられたとき、以下の問いに答えます。 (1) (a) $f(x)$ の $x \to +0$ における位数を求めます。 (b) $g(x)$ の $x \to \infty$ における位数を求めます。 (2) (a) $\int_0^1 f(x) \, dx$ の収束・発散を判定します。 (b) $\int_0^\infty g(x) \, dx$ の収束・発散を判定します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{\sin x}{\sqrt{2x^5 - x^6}}$ と $g(x) = \frac{x^3}{(3x^4 + 1)(2x^2 + 3)}$ が与えられたとき、以下の問いに答えます。

(1)

(a) $f(x)$ の $x \to +0$ における位数を求めます。

(b) $g(x)$ の $x \to \infty$ における位数を求めます。

(2)

(a) $\int_0^1 f(x) \, dx$ の収束・発散を判定します。

(b) $\int_0^\infty g(x) \, dx$ の収束・発散を判定します。

2. 解き方の手順

(1) (a) $f(x)$ の $x \to +0$ における位数を求めます。

$x \to +0$ のとき、$\sin x \sim x$ となり、$2x^5 - x^6 \sim 2x^5$ なので、

$f(x) \sim \frac{x}{\sqrt{2x^5}} = \frac{x}{\sqrt{2} x^{5/2}} = \frac{1}{\sqrt{2} x^{3/2}}$

したがって、$f(x)$ の $x \to +0$ における位数は $-\frac{3}{2}$ です。

(1) (b) $g(x)$ の $x \to \infty$ における位数を求めます。

$x \to \infty$ のとき、$3x^4 + 1 \sim 3x^4$ および $2x^2 + 3 \sim 2x^2$ なので、

$g(x) \sim \frac{x^3}{(3x^4)(2x^2)} = \frac{x^3}{6x^6} = \frac{1}{6x^3}$

したがって、$g(x)$ の $x \to \infty$ における位数は $-3$ です。

(2) (a) $\int_0^1 f(x) \, dx$ の収束・発散を判定します。

$f(x) \sim \frac{1}{\sqrt{2} x^{3/2}}$ であるから、$x \to +0$ において $f(x)$ は $x^{-3/2}$ と同じオーダーです。

$\int_0^1 x^{-3/2} \, dx$ は $\alpha = 3/2 < 1$ のとき収束し、$\alpha = 3/2 \ge 1$のとき発散します。

$\int_0^1 x^{-3/2}dx$ は発散します。積分区間の下端での積分可能性を考えます。$3/2 > 1$ なので、積分は発散します。よって、$\int_0^1 f(x) \, dx$ は発散します。

(2) (b) $\int_0^\infty g(x) \, dx$ の収束・発散を判定します。

$g(x) \sim \frac{1}{6x^3}$ であるから、$x \to \infty$ において $g(x)$ は $x^{-3}$ と同じオーダーです。

$\int_1^\infty x^{-3} \, dx$ は $\alpha = 3 > 1$ のとき収束し、$\alpha = 3 \le 1$ のとき発散します。$\int_1^\infty x^{-3} \, dx$ は収束します。

$\int_0^1 g(x) dx$ は $g(x)$ が $x=0$ で連続だから収束します。

したがって、$\int_0^\infty g(x) \, dx$ は収束します。

3. 最終的な答え

(1) (a) $f(x)$ の $x \to +0$ における位数は $-\frac{3}{2}$

(1) (b) $g(x)$ の $x \to \infty$ における位数は $-3$

(2) (a) $\int_0^1 f(x) \, dx$ は発散する

(2) (b) $\int_0^\infty g(x) \, dx$ は収束する