関数 $f(x) = \frac{\sin x}{\sqrt{2x^5 - x^6}}$ と $g(x) = \frac{x^3}{(3x^4 + 1)(2x^2 + 3)}$ について、以下の極限における位数を求めます。 (a) $f(x)$ の $x \to +0$ における位数 (b) $g(x)$ の $x \to \infty$ における位数

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{\sin x}{\sqrt{2x^5 - x^6}}$ と $g(x) = \frac{x^3}{(3x^4 + 1)(2x^2 + 3)}$ について、以下の極限における位数を求めます。

(a) $f(x)$ の $x \to +0$ における位数

(b) $g(x)$ の $x \to \infty$ における位数

2. 解き方の手順

(a) $f(x)$ の $x \to +0$ における位数

$x \to +0$ のとき、$\sin x \approx x$ であることを利用します。また、$2x^5 - x^6 = x^5(2 - x)$ であるから、$x \to +0$ のとき、$2 - x \approx 2$ となります。

したがって、

$$f(x) = \frac{\sin x}{\sqrt{2x^5 - x^6}} \approx \frac{x}{\sqrt{2x^5}} = \frac{x}{\sqrt{2} x^{5/2}} = \frac{1}{\sqrt{2} x^{3/2}}$$

$f(x)$ は $x^{-3/2}$ のオーダーで発散するので、$x \to +0$ における位数は $3/2$ です。

(b) $g(x)$ の $x \to \infty$ における位数

$x \to \infty$ のとき、$3x^4 + 1 \approx 3x^4$ かつ $2x^2 + 3 \approx 2x^2$ と近似できます。

したがって、

$$g(x) = \frac{x^3}{(3x^4 + 1)(2x^2 + 3)} \approx \frac{x^3}{(3x^4)(2x^2)} = \frac{x^3}{6x^6} = \frac{1}{6x^3}$$

$g(x)$ は $x^{-3}$ のオーダーで0に収束するので、$x \to \infty$ における位数は $3$ です。

3. 最終的な答え

(a) $f(x)$ の $x \to +0$ における位数は $3/2$

(b) $g(x)$ の $x \to \infty$ における位数は $3$