与えられた冪級数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(-2n)^n} x^{2n}$ の収束半径を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた冪級数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(-2n)^n} x^{2n}$ の収束半径を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、冪級数の形を $\sum_{n=1}^\infty a_n x^{2n}$ と見なします。ここで、 $a_n = \frac{(2n-1)!!}{(-2n)^n}$ です。収束半径 $R$ を求めるには、比の判定法または根判定法を利用できます。今回は根判定法を用います。

根判定法では、

$L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$

を計算し、収束半径は $R = \frac{1}{L}$ となります。

$a_n = \frac{(2n-1)!!}{(-2n)^n}$ なので、

$|a_n| = \frac{(2n-1)!!}{(2n)^n}$

したがって、

$\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\frac{(2n-1)!!}{(2n)^n}} = \frac{\sqrt[n]{(2n-1)!!}}{2n}$

ここで、 $(2n-1)!! = \frac{(2n)!}{2^n n!}$ であることを利用します。

$\sqrt[n]{(2n-1)!!} = \sqrt[n]{\frac{(2n)!}{2^n n!}}$

スターリングの公式 $n! \approx \sqrt{2\pi n} (\frac{n}{e})^n$ を用いると、

$\frac{(2n)!}{n!} \approx \frac{\sqrt{4\pi n} (\frac{2n}{e})^{2n}}{\sqrt{2\pi n} (\frac{n}{e})^n} = \sqrt{2} (\frac{4n}{e})^n$

よって、$\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{2^n n!}} \approx \sqrt[n]{\frac{\sqrt{2} (\frac{4n}{e})^n}{2^n}} = \sqrt[2n]{2} \frac{4n}{2e} = 2\sqrt[2n]{2} \frac{n}{e}$

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{(2n-1)!!}}{2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2\sqrt[2n]{2} \frac{n}{e}}{2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[2n]{2}}{e} = \frac{1}{e}$

よって、$L = \frac{1}{e}$。

しかし、これは $x^n$ の収束半径なので、$x^{2n}$ の収束半径を求めるには $y=x^2$ とおいて

$\sum_{n=1}^\infty a_n y^n$ の収束半径を求めます。

この級数の収束半径は $R_y = \frac{1}{L} = e$

$|y| < R_y$ より $|x^2| < e$ なので $|x| < \sqrt{e}$

3. 最終的な答え

収束半径は $\sqrt{e}$ です。