与えられたいくつかの関数について、偏微分、全微分、または停留点を求める問題です。 (1) $z = 3x^2 - 2xy + y^2$ について、$z_x$ を求めます。 (2) $f(x, y) - x\sin y$ について、$f_y(x, y)$ を求めます。 (3) $z = \cos(xy)$ について、$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$ を求めます。 (4) $f(x, y) = xy^2 - x^3$; $x = e^{-t}$, $y = t^2$ について、$\frac{df}{dt}$ を求めます。 (5) $z = x^2 + xy - y^2$; $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ のとき、$\frac{\partial z}{\partial r}$ を求めます。 (6) 関数 $f(x, y) = x^3 + 3xy + y^3$ の停留点をすべて求めます。

1. 問題の内容

与えられたいくつかの関数について、偏微分、全微分、または停留点を求める問題です。

(1) $z = 3x^2 - 2xy + y^2$ について、$z_x$ を求めます。

(2) $f(x, y) - x\sin y$ について、$f_y(x, y)$ を求めます。

(3) $z = \cos(xy)$ について、$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$ を求めます。

(4) $f(x, y) = xy^2 - x^3$; $x = e^{-t}$, $y = t^2$ について、$\frac{df}{dt}$ を求めます。

(5) $z = x^2 + xy - y^2$; $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ のとき、$\frac{\partial z}{\partial r}$ を求めます。

(6) 関数 $f(x, y) = x^3 + 3xy + y^3$ の停留点をすべて求めます。

2. 解き方の手順

(1) $z_x = \frac{\partial z}{\partial x}$ を計算します。$y$ は定数として扱います。

$z_x = \frac{\partial}{\partial x} (3x^2 - 2xy + y^2) = 6x - 2y + 0 = 6x - 2y$

(2) $f_y(x, y) = \frac{\partial f(x, y)}{\partial y}$ を計算します。$x$ は定数として扱います。問題文より$f(x,y)-x\sin y$が与えられており、$f(x,y)$に関する情報が不足しているので、$f_y(x,y)$を求めることができません。ここでは$f(x,y)=x\sin y$として問題を解きます。

$f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (x\sin y) = x\cos y$

(3) $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)$ を計算します。まず $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求めます。

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\cos(xy)) = -\sin(xy) \cdot x = -x\sin(xy)$

次に、$\frac{\partial}{\partial y} (-x\sin(xy))$ を計算します。

$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (-x\sin(xy)) = -x\cos(xy) \cdot x = -x^2\cos(xy)$

(4) 合成関数の微分を用いて $\frac{df}{dt}$ を計算します。

$\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt}$

まず偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^2 - 3x^2$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2xy$

次に、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算します。

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (e^{-t}) = -e^{-t}$

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (t^2) = 2t$

したがって、

$\frac{df}{dt} = (y^2 - 3x^2)(-e^{-t}) + (2xy)(2t) = (t^4 - 3e^{-2t})(-e^{-t}) + (2e^{-t}t^2)(2t) = -t^4 e^{-t} + 3e^{-3t} + 4t^3e^{-t} = e^{-t}(-t^4 + 4t^3) + 3e^{-3t}$

(5) 連鎖律を用いて $\frac{\partial z}{\partial r}$ を計算します。

$\frac{\partial z}{\partial r} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r}$

まず偏微分を計算します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + y$

$\frac{\partial z}{\partial y} = x - 2y$

次に、$\frac{\partial x}{\partial r}$ と $\frac{\partial y}{\partial r}$ を計算します。

$\frac{\partial x}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r} (r\cos\theta) = \cos\theta$

$\frac{\partial y}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r} (r\sin\theta) = \sin\theta$

したがって、

$\frac{\partial z}{\partial r} = (2x + y)\cos\theta + (x - 2y)\sin\theta = (2r\cos\theta + r\sin\theta)\cos\theta + (r\cos\theta - 2r\sin\theta)\sin\theta = 2r\cos^2\theta + r\sin\theta\cos\theta + r\cos\theta\sin\theta - 2r\sin^2\theta = 2r(\cos^2\theta - \sin^2\theta) + 2r\sin\theta\cos\theta = 2r\cos(2\theta) + r\sin(2\theta)$

(6) 停留点は $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ かつ $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ を満たす点です。

まず偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 + 3y$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3x + 3y^2$

したがって、

$3x^2 + 3y = 0 \Rightarrow y = -x^2$

$3x + 3y^2 = 0 \Rightarrow x = -y^2$

これを解きます。

$x = -(-x^2)^2 = -x^4$

$x^4 + x = 0 \Rightarrow x(x^3 + 1) = 0$

$x = 0$ または $x^3 = -1 \Rightarrow x = -1$

$x = 0$ のとき $y = -0^2 = 0$

$x = -1$ のとき $y = -(-1)^2 = -1$

したがって、停留点は $(0, 0)$ と $(-1, -1)$ です。

3. 最終的な答え

(1) $z_x = 6x - 2y$

(2) $f_y(x, y) = x\cos y$

(3) $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -x^2\cos(xy)$

(4) $\frac{df}{dt} = e^{-t}(-t^4 + 4t^3) + 3e^{-3t}$

(5) $\frac{\partial z}{\partial r} = 2r\cos(2\theta) + r\sin(2\theta)$

(6) 停留点: $(0, 0)$, $(-1, -1)$