$\lim_{x \to 0} \frac{(\sin x)(\arcsin x)}{(\arccos(1-x))^4}$ の極限を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{(\sin x)(\arcsin x)}{(\arccos(1-x))^4}$ の極限を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin x \approx x$ , $\arcsin x \approx x$ ($x \to 0$のとき) を用いて、分子を近似します。

次に、$\arccos(1-x)$ の近似式を求めます。$y = \arccos(1-x)$ とおくと、$1-x = \cos y$ となります。$x \to 0$ のとき $y \to 0$ なので、$1-x \approx 1 - \frac{y^2}{2}$ と近似できます。これより、$x \approx \frac{y^2}{2}$ なので、$y \approx \sqrt{2x}$ が得られます。したがって、$\arccos(1-x) \approx \sqrt{2x}$ ($x \to 0$のとき) と近似できます。

上記の結果を用いて、極限を計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{(\sin x)(\arcsin x)}{(\arccos(1-x))^4} = \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{(\sqrt{2x})^4} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{4x^2} = \frac{1}{4}$

より厳密に評価するには、次の極限を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1$

そして、$y = \arccos(1-x)$ とおくと、$1 - x = \cos y$。 $x \to 0$ のとき、$y \to 0$ である。

$x = 1 - \cos y = 2 \sin^2(\frac{y}{2})$.

したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{\arccos(1-x)}{\sqrt{x}} = \lim_{y \to 0} \frac{y}{\sqrt{2}\sin(\frac{y}{2})} = \lim_{y \to 0} \frac{y}{\sqrt{2} (\frac{y}{2})} = \sqrt{2}$

したがって、$\arccos(1-x) \approx \sqrt{2x}$ となります。

$\lim_{x \to 0} \frac{(\sin x)(\arcsin x)}{(\arccos(1-x))^4} = \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{(\sqrt{2x})^4} \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{x} \frac{\arcsin x}{x}}{(\frac{\arccos(1-x)}{\sqrt{x}})^4} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

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