(12) $\int_{0}^{3} \frac{dx}{\sqrt{3-x}}$ を求めよ。

1. 問題の内容

(12) $\int_{0}^{3} \frac{dx}{\sqrt{3-x}}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{\sqrt{3-x}}$ は $x=3$ で定義されていないので、広義積分である。

$\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int x^{-\frac{1}{2}} dx = 2x^{\frac{1}{2}} + C$ より

$\int \frac{dx}{\sqrt{3-x}} = \int (3-x)^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{-1} 2 (3-x)^{\frac{1}{2}} + C = -2 \sqrt{3-x} + C$

したがって、

$\int_{0}^{3} \frac{dx}{\sqrt{3-x}} = \lim_{t \to 3-0} \int_{0}^{t} \frac{dx}{\sqrt{3-x}}$

$= \lim_{t \to 3-0} [-2 \sqrt{3-x}]_{0}^{t}$

$= \lim_{t \to 3-0} \{-2 \sqrt{3-t} - (-2 \sqrt{3})\} = 2 \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{3}$