以下の2つの問題を解きます。 (1) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \{ (\sqrt{1} + \sqrt{n})^2 + (\sqrt{2} + \sqrt{n})^2 + \dots + (\sqrt{n} + \sqrt{n})^2 \}$ を計算する。 (2) $n$ が2以上の整数のとき、$\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < 1 - \frac{1}{n}$ を証明する。

1. 問題の内容

以下の2つの問題を解きます。

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \{ (\sqrt{1} + \sqrt{n})^2 + (\sqrt{2} + \sqrt{n})^2 + \dots + (\sqrt{n} + \sqrt{n})^2 \}$ を計算する。

(2) $n$ が2以上の整数のとき、$\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < 1 - \frac{1}{n}$ を証明する。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた極限をシグマの形で表します。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k} + \sqrt{n})^2$$

次に、 $(\sqrt{k} + \sqrt{n})^2$ を展開します。

$$(\sqrt{k} + \sqrt{n})^2 = k + 2\sqrt{kn} + n$$

したがって、与えられた極限は

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} (k + 2\sqrt{kn} + n) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( \sum_{k=1}^{n} k + 2\sqrt{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k} + \sum_{k=1}^{n} n \right)$$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$、$\sum_{k=1}^{n} n = n^2$ です。$\sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}$ については、区分求積法を用います。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k/n} = \int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^1 = \frac{2}{3}$$

したがって、$\sum_{k=1}^{n} \sqrt{k} \approx \frac{2}{3} n^{3/2}$ となります。

これらを代入すると、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( \frac{n(n+1)}{2} + 2\sqrt{n} \cdot \frac{2}{3} n^{3/2} + n^2 \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( \frac{n^2+n}{2} + \frac{4}{3} n^2 + n^2 \right)$$

$$= \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} + \frac{4}{3} + 1 \right) = \frac{1}{2} + \frac{4}{3} + 1 = \frac{3+8+6}{6} = \frac{17}{6}$$

(2) 数学的帰納法で証明します。

$n=2$ のとき、$\frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$ であり、$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ です。$\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$ なので、$n=2$ のとき不等式は成立します。

次に、$n=k$ のとき不等式が成立すると仮定します。つまり、$\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{k^2} < 1 - \frac{1}{k}$ が成立すると仮定します。

$n=k+1$ のとき、

$$\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{k^2} + \frac{1}{(k+1)^2} < 1 - \frac{1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2}$$

ここで、$1 - \frac{1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2} < 1 - \frac{1}{k+1}$ を示す必要があります。

つまり、$-\frac{1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2} < -\frac{1}{k+1}$ を示します。

$$\frac{1}{(k+1)^2} < \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} = \frac{k+1-k}{k(k+1)} = \frac{1}{k(k+1)}$$

$$k(k+1) < (k+1)^2$$

$$k < k+1$$

これは常に成立します。

したがって、$n=k+1$ のときも不等式は成立します。

よって、数学的帰納法により、$n$ が2以上の整数のとき、$\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < 1 - \frac{1}{n}$ が成立します。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{17}{6}$

(2) 証明完了