## (7) 問題の内容

## (7) 問題の内容

$\int \sin^2 2x \cos 2x dx$ を求める。

## (7) 解き方の手順

1. $t = \sin 2x$ と置換する。すると、$\frac{dt}{dx} = 2 \cos 2x$ となる。

2. 与えられた積分を置換積分法を用いて変換する。

$\int \sin^2 2x \cos 2x dx = \int t^2 \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int t^2 dt$

3. $t$ について積分する。

$\frac{1}{2} \int t^2 dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^3}{3} + C = \frac{1}{6} t^3 + C$

4. $t = \sin 2x$ を代入して、$x$ の関数に戻す。

$\frac{1}{6} t^3 + C = \frac{1}{6} \sin^3 2x + C$

## (7) 最終的な答え

$\frac{1}{6} \sin^3 2x + C$

## (8) 問題の内容

$\int \sqrt{x} \log x dx$ を求める。

## (8) 解き方の手順

1. 部分積分法を用いる。$\int u v' dx = u v - \int u' v dx$

2. $u = \log x$, $v' = \sqrt{x} = x^{1/2}$ とすると、$u' = \frac{1}{x}$, $v = \int x^{1/2} dx = \frac{2}{3} x^{3/2}$ となる。

3. 部分積分法の公式に代入する。

$\int \sqrt{x} \log x dx = \frac{2}{3} x^{3/2} \log x - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} dx$

4. 積分を計算する。

$\frac{2}{3} x^{3/2} \log x - \frac{2}{3} \int x^{1/2} dx = \frac{2}{3} x^{3/2} \log x - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} + C$

5. 整理する。

$\frac{2}{3} x^{3/2} \log x - \frac{4}{9} x^{3/2} + C = \frac{2}{3} x \sqrt{x} \log x - \frac{4}{9} x \sqrt{x} + C$

## (8) 最終的な答え

$\frac{2}{3} x \sqrt{x} \log x - \frac{4}{9} x \sqrt{x} + C$

## (9) 問題の内容

$\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1 - 2x^2}}$ を求める。

## (9) 解き方の手順

1. $\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \sin^{-1} x + C$ を利用する。

2. $\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1 - 2x^2}} = \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1 - (\sqrt{2}x)^2}}$ と変形する。

3. $\sqrt{2} x = t$ と置換すると、$dx = \frac{1}{\sqrt{2}} dt$ となる。積分範囲は $x:0 \to \frac{1}{2}$ に対して、$t:0 \to \frac{\sqrt{2}}{2}$となる。

4. $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \frac{1}{\sqrt{2}} dt = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} dt = \frac{1}{\sqrt{2}} [\sin^{-1} t]_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

5. $\frac{1}{\sqrt{2}} (\sin^{-1} \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin^{-1} 0) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2} \pi}{8}$

## (9) 最終的な答え

$\frac{\pi}{4 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \pi}{8}$

## (10) 問題の内容

$\int_{-1}^{0} x e^x dx$ を求める。

## (10) 解き方の手順

1. 部分積分法を用いる。$\int u v' dx = u v - \int u' v dx$

2. $u = x$, $v' = e^x$ とすると、$u' = 1$, $v = e^x$ となる。

3. 部分積分法の公式に代入する。

$\int_{-1}^{0} x e^x dx = [x e^x]_{-1}^{0} - \int_{-1}^{0} 1 \cdot e^x dx$

4. 積分を計算する。

$[x e^x]_{-1}^{0} - \int_{-1}^{0} e^x dx = (0 \cdot e^0 - (-1) e^{-1}) - [e^x]_{-1}^{0} = \frac{1}{e} - (e^0 - e^{-1}) = \frac{1}{e} - (1 - \frac{1}{e}) = \frac{2}{e} - 1$

## (10) 最終的な答え

$\frac{2}{e} - 1$

## (11) 問題の内容

$\int_0^2 x \sqrt{x^2 + 4} dx$ を求める。

## (11) 解き方の手順

1. $t = x^2 + 4$ と置換する。すると、$\frac{dt}{dx} = 2x$ となる。積分範囲は $x:0 \to 2$ に対して、$t:4 \to 8$となる。

2. 与えられた積分を置換積分法を用いて変換する。

$\int_0^2 x \sqrt{x^2 + 4} dx = \int_4^8 \sqrt{t} \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int_4^8 \sqrt{t} dt = \frac{1}{2} \int_4^8 t^{1/2} dt$

3. $t$ について積分する。

$\frac{1}{2} \int_4^8 t^{1/2} dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} [t^{3/2}]_4^8 = \frac{1}{3} [t \sqrt{t}]_4^8$

4. 積分範囲を代入する。

$\frac{1}{3} (8 \sqrt{8} - 4 \sqrt{4}) = \frac{1}{3} (8 \cdot 2 \sqrt{2} - 4 \cdot 2) = \frac{1}{3} (16 \sqrt{2} - 8) = \frac{8}{3} (2 \sqrt{2} - 1)$

## (11) 最終的な答え

$\frac{8}{3} (2 \sqrt{2} - 1)$

## (12) 問題の内容

$\int_0^3 \frac{dx}{\sqrt{3 - x}}$ を求める。

## (12) 解き方の手順

1. 被積分関数は $x = 3$ で定義されていないので、広義積分として考える。

2. $u = 3 - x$ と置換する。$\frac{du}{dx} = -1$ より、$dx = -du$。積分範囲は $x:0 \to 3$ に対して、$u:3 \to 0$となる。

3. $\int_0^3 \frac{dx}{\sqrt{3 - x}} = \int_3^0 \frac{-du}{\sqrt{u}} = - \int_3^0 u^{-1/2} du = \int_0^3 u^{-1/2} du = [2 \sqrt{u}]_0^3 = 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{0} = 2 \sqrt{3}$

別の解き方：

1. 原始関数を求める：$\int \frac{dx}{\sqrt{3 - x}} = \int (3 - x)^{-1/2} dx = \frac{(3 - x)^{1/2}}{(-1)(1/2)} + C = -2 \sqrt{3 - x} + C$

2. 広義積分を計算する：

$\lim_{t \to 3 - 0} \int_0^t \frac{dx}{\sqrt{3 - x}} = \lim_{t \to 3 - 0} [-2 \sqrt{3 - x}]_0^t = \lim_{t \to 3 - 0} (-2 \sqrt{3 - t} - (-2 \sqrt{3 - 0})) = -2 \sqrt{3 - 3} + 2 \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$

## (12) 最終的な答え

$2 \sqrt{3}$