2つの曲線 $C_1: y = a \log x$ と $C_2: y = x^2 + \frac{a}{2}$ が共有点を持ち、その点における接線が一致するとき、$a$ の値と共有点の $x$ 座標を求める問題です。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

2つの曲線 $C_1: y = a \log x$ と $C_2: y = x^2 + \frac{a}{2}$ が共有点を持ち、その点における接線が一致するとき、$a$ の値と共有点の $x$ 座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$C_1$ 上の点 $(t, a \log t)$ が $C_2$ 上の点でもあることから、

$a \log t = t^2 + \frac{a}{2}$ が成り立ちます。

次に、$C_1$ と $C_2$ の点 $(t, a \log t)$ における接線の傾きが等しいことを考えます。

$C_1$ の導関数は $y' = \frac{a}{x}$ なので、点 $(t, a \log t)$ における接線の傾きは $\frac{a}{t}$ です。

$C_2$ の導関数は $y' = 2x$ なので、点 $(t, a \log t)$ における接線の傾きは $2t$ です。

したがって、$\frac{a}{t} = 2t$ が成り立ちます。これから、$a = 2t^2$ が得られます。

この結果を $a \log t = t^2 + \frac{a}{2}$ に代入すると、$2t^2 \log t = t^2 + \frac{2t^2}{2}$ となります。

整理すると、$2t^2 \log t = 2t^2$ となり、$t^2(\log t - 1) = 0$ となります。

$t > 0$ なので、$t^2 \neq 0$ であり、$t=0$ とならないので $\log t = 1$ となり、$t = e$ が得られます。

$a = 2t^2$ に $t = e$ を代入すると、$a = 2e^2$ が得られます。

3. 最終的な答え

1: 2

2: (3)

3: (1)

共有点の $x$ 座標は $e$ 、$a$の値は $2e^2$です。